Calcul du volume d'un octaèdre à partir du rayon

Bonjour, j'ai un exercice de géométrie dans l'espace à faire contenant un octahèdre, je ne vois pas comment en calculer son volume ce qui me bloque dans l'exercice suivant :

On considère une sphère Z de centre O de rayon OA = 4 cm.

Un octaèdre SABCDT est inscrit dans cette sphère.

(Les points S, A, B, C, D, T sont sur la sphère, le quadrilatère ABCD est un carré de cente O et les pyramides SABCD et TABCD sont réguliers)

Elève A : "Le volume de l'octaèdre est égal à la moitié du volume de la sphère"

Elève B : "Pas du tout, le volume de l'octaèdre est inférieur au tiers du volume de la sphère."

Eleve C : "pour le volume, je ne sais pas mais je peux dire que toutes les faces de l'octahèdre son des triangles équilatéraux."

Qui a raison ?

Je sais que le volume de la sphère est 4/3.pi.R3 = 150,8 cm3

que la moitié du volume de la sphère est égal à 75,4 cm3 et le tiers à 50,3 cm3

Je sais que l'élève C a raison car les faces de l'octaèdre sont toutes des triangles équilatéraux mais je ne sais pas comment le prouver.

Mais je ne sais pas comment calculer le volume de l'octaèdre à partir du rayon OA.

Je vous demande votre aide s'il vous plait, merci d'avance.

Bonsoir,

Si j'ai bien lu , l'octaèdre est composé de deux pyramides égales , symétriques par rapport au plan (ABCD) .

Tu peux calculer le volume d'une de ces deux pyramides.
Ensuite , tu multiplies par 2 pour avoir le volume de l'octaèdre.

Rappel pour le volume d'une pyramide : $\text{\frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur$

mtschoon
Bonsoir,

Si j'ai bien lu , l'octaèdre est composé de deux pyramides égales , symétriques par rapport au plan (ABCD) .

Tu peux calculer le volume d'une de ces deux pyramides.
Ensuite , tu multiplies par 2 pour avoir le volume de l'octaèdre.

Rappel pour le volume d'une pyramide : $\text{\frac{1}{3} \times aire de la base \times hauteur$

D'accord mais pour calculer l'aire de la base j'ai besoin du coté mais comme je n'ais pas cette donnée, comment je l'obtient ?

La base est le carré ABCD de centre O

OA=OB=OC=OD=4

Par exemple , pour calculer AB , utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle AOB :

AB²=AO²+OB²=4²+4²=...

mtschoon
La base est le carré ABCD de centre O

OA=OB=OC=OD=4

Par exemple , pour calculer AB , utilise le théorème de Pythagore dans le triangle rectangle isocèle AOB :

AB²=AO²+OB²=4²+4²=...

Ah d'accord ! Merci beaucoup pour votre aide.

De rien !

J'espère que tu as trouvé $AB=32=42AB=\sqrt{32}=4\sqrt 2$

mtschoon
De rien !

J'espère que tu as trouvé $AB=32=42AB=\sqrt{32}=4\sqrt 2$

Oui j'ai bien trouvé cela donc les élèves A et B ont tort mais je ne sais pas comment prouver que les faces sont des triangles équilatéraux à partir de ces mesures

Tu utilises encore le théorème de Pythagore.

Par exemple , pour calculer SA :

Le triangle SOA est rectangle en O

SA²=SO²+OA²=4²+4²=16+16=32

Donc : $SA=32=42SA=\sqrt{32}=4\sqrt 2$

Idem pour les autres côtés.

D'accord merci beaucoup.

De rien !

Bon DM