Intersection droite et plan



  • Bonsoir,
    J'ai un petite question...
    Dans un exercice, on veut touver le point d'intersection d'une droite (d) et d'un plan P qui passe par A (2,-5,4) et dirigé par vecteur j et vecteur k.
    Une équation paramétrique de la droite (d) est:
    x=8+2t
    y=1+7t
    z=-5t

    Pour répondre à la question, on peut dire que une équation paramétrique de P est
    x=2+.....
    y=-5+....
    z=4+.....

    Comment trouve t'on le reste ???

    Si vous avez une idée ça serait super :).
    Bonne soirée.


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Soit (o,i,j,k)(o,\vec{i},\vec{j},\vec{k}) le repère

    Si j'ai bien lu, (P) passe par A et est parallèle au plan de coordonnées ((o,j,k)(o,\vec{j},\vec{k})

    Son équation cartésienne est x=2

    Pour répondre à ta question , x=2 et y et z sont quelconques.

    Pour trouver les coordonnées du point d'intersection I :

    I a pour abscisse 2

    2=8+2t : tu trouves ainsi la valeur de t ( t=-3)

    Tu remplaces t par -3 dans y=1+7t et z=-5t pour obtenir l'ordonnée et la côte de I.



  • Merci pour votre réponse.

    Je comprend pour y et z mais je ne vois pas pour x...

    C'est peut être bête, mais comment sait-on que son équation carthésienne est 2 ?
    Pourquoi il n'y a pas comme z et y : ...+...t mais seulement 2 ?


  • Modérateurs

    A a pour abscisse 2

    L'équation cartésienne de (P) est seulement x=2 car il s'agit d'un plan parallèle à un des plans de coordonnées.

    Mais je me demande si tu ne confonds pas la représentation paramétrique d'une droite avec celle d'un plan...



  • Si c'est fort possible :frowning2: !!!!!!!!
    Quelle est la différence ?


  • Modérateurs

    Soit (D) droite définie par:

    $\text{a et \vec{u} avec a(x_0,y_0,z_0) et \vec{u}(a,b,c)$

    Representation paramétrique de (D) de paramètre réel t :

    $\left{x=x_0+ta\y=y_0+tb\z=z_0+tc\right$

    Soit (P) plan défini par:

    $\text{b , \vec{v} et \vec{w} avec b(x_1,y_1,z_1) , \vec{v}(a_1,b_1,c_1)et \vec{w}(a_2,b_2,c_2)$

    Representation paramétrique de (P) de paramètres réels k et k' :

    $\left{x=x_1+ka_1+ka_2\y=y_1+kb_1+k'b_2\z=z_1+kc_1+k'c_2\right$

    Dans l'espace , utiliser une représentation paramétrique de plan est très lourd ( deux paramètres ! )

    Lorque l'énoncé le permet , il est bien plus facile , pour l'intersection d'une droite et d'un plan , d'utiliser une représentation paramétrique de la droite et une équation cartésienne du plan.



  • Je confirme, je confondais...
    Pour moi, que ce soit une droite ou un plan, c'était toujours ce qui est "en faite" (j'ai retenu, merci zorro) seulement la représentation paramétrique d'une droite.

    Je ne me souviens pas avoir fait des systèmes avec une représentation paramétrique de plan en cours, ça à l'air effectivement très lourd !
    Ou çaa peut être un lien lorsque l'on cherchait si deux vecteurs appartenaient a un même plan en faisant un système pour trouver (x;y) tel que AB=xAC+yAD ?


  • Modérateurs

    Ton idée est la bonne.

    Avec les notations que j'ai utilisées dans mon précédent post , la représentation paramétrique du plan (P) est la traduction de :

    Pour tout point M(x,y,z) du plan :

    $\text{\vec{bm}=k\vec{v}+k'\vec{w}$

    Effectivement , en TS , je pense que pour les plans , seule l'équation cartésienne est utilisée .

    Une remarque : le jour du Bac , si tu emploies le mot "cartesien" ou "cartésienne" , ne mets pas de "h" ...
    Ce mot vient de "Descartes " (philosophe-mathématicien-physicien ) et son nom ne prend pas de "h" .



  • Ah d'accord, vous venez encore de me faire comprendre, alors MERCI Mtschoon !!!

    Et d'accord, je penserais a vous durant l'épreuve pour ne pas faire cette faute 😉 .

    Bonne soirée à vous.


  • Modérateurs

    Bonne soirée à toi et Bon courage pour ton Bac !


 

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