Dérivation et parité

Bonjour,

Un exercice sur le thème de la parité et de la dérivation des fonctions.

Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur $r\mathbb{r}$ , démontrer que :

Si $f$ est paire, sa dérivée $f^{'}$ est impaire.
Si $f$ est impaire, sa dérivée $f^{'}$ est paire.
Si $f$ est périodique de période $t$ , alors sa dérivée est périodique de période $t$ .

Rappel : la dérivée de deux fonctions composées $u$ et $v$ est : $(u∘v)′(x)=u′[v(x)]×v′(x)(u\circ v)'(x)=u'[v(x)]\times v'(x)$ .
Dans ce cas, si on pose $u = f (x)$ et $v = - x$ ,
-1) $f$ paire $⟶f(x)=f(−x)⟶[f(x)]′=[f(−x)]′⟶f′(x)=f′(−x)×(−x)′⟶f′(x)=−f′(−x)\longrightarrow f(x)=f(-x)\longrightarrow [f(x)]'=[f(-x)]'\longrightarrow f'(x)=f'(-x)\times(-x)'\longrightarrow f'(x)=-f'(-x)$
-2) $f$ impaire $→f(x)=−f(−x)→[f(x)]′=[−f(−x)]′→f′(x)=−1×[f(−x)]′→f′(x)=−1×−f′(−x)=f′(−x)\rightarrow f(x)=-f(-x)\rightarrow [f(x)]'=[-f(-x)]'\rightarrow f'(x)=-1\times[f(-x)]'\rightarrow f'(x)=-1\times-f'(-x)=f'(-x)$
-3) $f$ périodique $⟶f(x)=f(x+t)⟶f′(x)=[f(x+t)]′⟶f′(x)=f′(x+t)×(x+t)′⟶f′(x)=f′(x+t)\longrightarrow f(x)=f(x+t)\longrightarrow f'(x)=[f(x+t)]'\longrightarrow f'(x)=f'(x+t)\times(x+t)'\longrightarrow f'(x)=f'(x+t)$

Merci de vérifier la validité des démonstrations et de rectifier si c'est incorrect,

@+

Bonjour,

Tes explications me paraissent bonnes.

Un petit détail au début , avant les démonstrations :

Il ne faut pas confondre une fonction avec l'image de x par cette fonction.
Il vaudrait mieux écrire , par exemple : $u=fetv(x)=−x\text u=f et v(x)=-x$