Démonstration d'une propriété par récurrence



  • Bonjour,

    Un exercice sur le thème de la récurrence associé à la démonstration d'une inégalité.

    Démontrer par récurrence : $\forall n \in n\quad(\ n\geq 4\quad\longrightarrow\quad 2^n< n!\ )$
    ySoit p(n)p(n) la propriété a vérifier que nn avec nnn\in n.

    - Initialisation
    \quad L'étape d'initialisation, p(4)p(4), est elle vérifiée ?
    \quad La valeur de p(4)p(4), pour n=4n=4 : [tex]2^{4}<4!\quad\Longleftrightarrow\quad 16<24[/tex] qui est vrai, donc[b] initialisation Ok[/b].
    Itération :
    [tex]\quad[/tex]Supposons que[tex]P(n)[/tex] soit vrai et montrons qu'alors [tex]P(n+1)[/tex] l'est également.
    [tex]\quad[/tex]Rappel : tex!=(n+1)n![/tex].
    [tex]\quad[/tex] Initialement on a :
    [tex]\quad 4\le n\Rightarrow 1< n \Rightarrow 2< n+1[/tex]
    [tex]\quad[/tex]En tenant compte de l'hypothèse de récurrence, nous obtenons simultanément :
    [tex]\quad\left{ 2<n+1\ 2^{n}
    \right.[/tex]
    [tex]\quad[/tex]Si on multiplie membre à membre chaque expression :
    [tex]\quad 2*2^n<(n+1)\times n! \Leftrightarrow 2^{n+1}<(n+1)![/tex]
    [tex]\quad[/tex]Tout ceci est régulier car chaque membre est positif.
    [b]- Conclusion[/b] :
    [tex]\quad P(n+1)[/tex] est établie, la relation de récurrence est vérifiée.

    Merci de vérifier le travail, même si je pense que c'est bon ?

    @+ 😉



  • Je ne comprend pas, tout était nickel avant de poster 😕



  • Bonjour,
    impossible de faire du propre dans ton sujet

    pense à mettre des passages à la ligne après chaque truc en latex

    il doit y avoir un truc qui sème la pagaille mais sur mon Smartphone je n'arrive pas à trouver ce qui perturbe ton sujet !



  • Les /quad
    ils servent à quoi, il y en a plusieurs dans ton message



  • \quad pour laisser un grand espace avant et après et dans ce cas un retrait.
    Je ne vois toujours pas où ça coince !

    Merci et @+



  • Faire un espace en latex dans du texte c'est ce compliquer la vie.. Non ?



  • Il doit y avoir un / qui n'a pas son contraire



  • Bonjour,

    Ce sont le signes < qui posent prbl il me semble (J'ai déjà eu le souci). En mettant un espace avant et après ce signe ça se présente mieux. La démo me semble correcte.

    Citation
    Démontrer par récurrence : $\forall n \in n\quad(\ n\geq 4\quad\longrightarrow\quad 2^n < n!\ )$
    Soit p(n)p(n) la propriété a vérifier que nn avec nnn\in n.

    - Initialisation
    \quad L'étape d'initialisation, p(4)p(4), est elle vérifiée ?
    \quad La valeur de p(4)p(4), pour n=4n=4 : $2^{4} < 4!\quad\longleftrightarrow\quad 16 < 24$ qui est vrai, doncinitialisation Ok.
    Itération :
    \quadSupposons quep(n)p(n) soit vrai et montrons qu'alors p(n+1)p(n+1) l'est également.
    \quadRappel : (n+1)!=(n+1)n!(n+1)!=(n+1)n!.
    \quad Initialement on a :
    $\quad 4\le n\rightarrow 1 < n \rightarrow 2 < n+1$
    \quadEn tenant compte de l'hypothèse de récurrence, nous obtenons simultanément :
    $\quad\left{ 2 < n+1\ 2^{n} < n! \ \right.$
    \quadSi on multiplie membre à membre chaque expression :
    $\quad 2*2^n < (n+1)\times n! \leftrightarrow 2^{n+1} < (n+1)!$
    \quadTout ceci est régulier car chaque membre est positif.

    - Conclusion :
    p(n+1)\quad p(n+1) est établie, la relation de récurrence est vérifiée.



  • Merci bcp pour la bidouille LaTex !
    Mais, concernant l'exercice je souhaiterais (aussi) l'avis d'un expert.
    Peut-on démontrer autrement et la rédaction est correcte ?

    @+ 😉



  • Bonjour,

    Je ne suis pas plus "expert" que Iron ou Zorro !

    Comme te l'a dit Iron , ta démonstration est bonne.

    Un petit détail :

    Tu as écrit : "Tout ceci est régulier car chaque membre est positif".
    Il sera souhaitable de préciser :
    "Tout ceci est régulier car chaque membre est strictement positif".



  • En effet je savais que le bug venait d'un espace manquant autour d'un < mais sur mon Smartphone je n'arrivais pas à faire la modif.



  • Les symboles usuels relatifs aux inégalités posent souvent des difficultés en Latex.

    Le mieux , il me semble , est d'utiliser les "véritables" codes Latex :

    \lt pour <
    \gt pour >
    \le pour ≤
    \ge pour ≥

    Avec ces codes , je n'ai , pour l'instant , jamais eu de problème.



  • Merci mtschoon,

    tu as en effet raison, il est préférable d'utiliser les codes que les symboles trouvés sur le clavier.


 

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