fonction associée

Bonsoir

Pouvez-vous me donner la démonstration de ce théorème svp, car je ne l'ai pas trouvé sur internet.

"u est une fonction définie sur un intervalle I et k est un nombre fixé. v est la fonction définie sur I par v(x)=u(x+k).
Les variations de v sont les mêmes que celles de u « à une translation près »; si u est croissante sur un intervalle [a;b], alors v est croissante sur l'intervalle [a-k;b-k]."

Merci à vous

Bonjour,

Quelques pistes,

Dans un repère $(0,i⃗,j⃗)(0,\vec{i},\vec{j})$ :

Soit (C) la représentation graphique de u
Soit (C') la représentation graphique de v .

Regarde ton cours (Théorème) :
(C) a pour image (C') par la translation de vecteur $−ki⃗-k\vec{i}$

La suite est un exercice à faire.

Si un point M de (C) a pour coordonnées (x,y) , son image M' de (C') par la translation considérée , a pour coordonnés (x-k,y) :

Donc $u (x) = v (x - k)$ formule (*)

Avec cela , tu peux répondre à tes questions :

x1 et x2 étant deux valeurs quelconques de [a,b] telles que : a ≤x1 < x2 ≤ b

Pour u croissante sur [a,b] : u(a) ≤u(x1) ≤ u(x2) ≤ u(b)

Avec la formule (*) , tu déduis :

v(a-k) ≤ v(x1-k) ≤ v(x2-k) ≤ v(b-k)

Conclusion : v croissante sur [a-k,b-k]

Tu peux faire le même type de raisonnement pour u décroissante sur [a,b]

Merci de votre aide

Pourquoi la translation c'est -ki et non ki simplement ?

Regarde ici : les fonctions associées courantes , paragraphe 2.2

http://fr.wikiversity.org/wiki/Opérations_sur_les_fonctions/Fonctions_associées#g.28x.29_.3D_f.28x_.2B_k.29

Il y a juste une représentation graphique, ça n'explique pas pourquoi

Je t'explique pourquoi , avec les notations du graphique.

$\text{pour tout x reel g(x)=f(x+k) , donc g(x-k)=f(x)$

$\text{m(x , f(x)) : m \in (c)$

$\text{m'(x-k , g(x-k) : m' \in (c')$

$\text{\vec{mm'} a pour coordonnees : \left|x-k-x\g(x-k)-f(x)\right$

$\text{or , x-k-x=-k et g(x-k)-f(x)=f(x)-f(x)=0$

Donc : $\text{\vec{mm'} a pour coordonnees : \left|-k\0$

Tu tires la conclusion.

Merci pour ces explications

Mais il y a quelque chose qui me gène, car j'aurais eu tendance à mettre:

g(x)=f(x-k) et donc g(x+k)=f(x)

non...regarde ton énoncé.

Avec tes notations : v(x)=u(x+k)
Avec les notations correspondantes du graphique :g(x)=f(x+k)

Bonjour

J'ai tjs autant de mal avec ce type de fonction

Donc si j'ai bien compris la définition on a (j'ai pris un exemple pour mieux comprendre) :
u(x)=x²
u(x+2)=(x+2)²=v(x)

Donc le point M a pour coordonnées (x;u(x))
et M'(x+2;u(x+2)) soit M'(x+2;v(x))

Pourquoi je n'arrive pas à trouver le vecteur MM'(-2;0) ?

Revois cela tranquillement.

Pour k=2

$\text{v(x-2)=u(x)$

$\text{m(x, u(x))$

$\text{m'(x-2, v(x-2)) donc m'(x-2 , u(x))$

Tu termines .

Mais pourquoi nous ne pouvons pas le faire dans l'autre sens, lorsque c'est u(x+2)=v(x) et non v(x-2)=u(x) ?

C'est équivalent , si tu comprends...et pour faire la démonstration , on utilise la méthode qui convient , sinon on aboutit à rien...