Logique, çà continue...

Bonjour/soir,

Un petit exercice de logique qui m'a donné du mal !

Si les implications suivantes sont vraies :
$\rightarrow b\quad$ et $¬a→¬b\neg a \rightarrow\neg b$
démontrer que les implications réciproques sont vraies également,
puis donner des exemples.

En tenant compte des données de l'énoncé, je pose :
$\rightarrow b)=v$ et $(¬a→¬b)=v(\neg a \rightarrow \neg b)=v$ .
Obligatoirement, ces 2 propositions sont vraies simultanément ssi :
$a = b = v$ ou $a = b = f$ .
Dans ces cas là, on a obligatoirement :
$\rightarrow a)=v$ et $(¬b→¬a)=v(\neg b \rightarrow \neg a)=v$
On en déduit que les implications réciproques sont vraies aussi.
Conclusion, celà ressemble complètement à une équivalence :
$\rightarrow b) \longleftrightarrow (\neg b \rightarrow \neg a)$ , de même :
$(¬a→¬b)⟷[¬(¬b)→¬(¬a)]⟷(b→a)(\neg a \rightarrow \neg b) \longleftrightarrow [\neg(\neg b) \rightarrow \neg (\neg a)]\longleftrightarrow (b \rightarrow a)$ CQFD ?
Les exemples d'équivalence en mathématiques sont très nombreux

Merci et @+

Bonjour ,

Je n'ai pas saisi ta démarche avec A=B...

Il y a une propriété usuelle qui s'utilise couramment , relative à lacontraposée d'une proposition :

$\text{a \rightarrow b equivaut \neg b \rightarrow \neg a$

Ainsi , si j'ai bien lu, tes données se traduisent par :

$\left{ \neg b \rightarrow \neg a\ \neg a \rightarrow \neg b\right$

Donc : $\text{\neg a equivaut \neg b$

Donc : $\text{\neg (\neg a) equivaut \neg (\neg b)$

Donc : $\text{a equivaut b$

Pour la contraposée , tu as une explication ici :

http://uel.unisciel.fr/mathematiques/logique1/logique1_ch04/co/apprendre_ch4_03.html

mtschoon
Bonjour ,

Je n'ai pas saisi ta démarche avec A=B...
Merci pour ta réponse,
En essayant diverses méthodes, pour la démonstration, j'ai fini par construire la table de vérité des deux expressions de l'énoncé pour me rendre compte, enfin, que celle-ci concordée avec :
$a = b = v$ OU $a = b = f$ .
Citation
Il y a une propriété usuelle qui s'utilise couramment, relative à lacontraposée d'une proposition :

$\text{a \rightarrow b equivaut \neg b \rightarrow \neg a$

Ainsi, si j'ai bien lu, tes données se traduisent par :

$\left{ \neg b \rightarrow \neg a\ \neg a \rightarrow \neg b\right$

Donc : $\text{\neg a equivaut \neg b$

Donc : $\text{\neg (\neg a) equivaut \neg (\neg b)$

Donc : $\text{a equivaut b$
[faible] Je connaissais déjà ces équivalences, mais j'ai mis du temps pour me persuader que cela ne devait pas être aussi simple[/faible]
Le plus utile, c'est qu'à la lecture de la table j'ai fini par voir la correspondance avec l'équivalence !

Encore Merci

Faire un tableau de vérité est une très bonne méthode .

Lorsque tu as écrit "A=B=V ou A=B=F" , tu voulais , je pense , dire que A et B prenaient les mêmes valeurs de vérité ( Vraies toutes les deux ou Fausses toutes les deux ) .
C'est l'écriture A=B qui était "douteuse" ...

Bonjour,
Tu peux aussi consulter :

Réflexions sur la logique formelle

Très bon article , Mathtous !

Merci bcp, je posterai peut être un autre sujet...

@+