Calcul d'une limite associée à une forme indéterminée

[FairMaths]

Bonjour/soir,

Merci de vérifier l'exactitude de mon raisonnement pour le calcul de cette limite :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+\cos x}-\sqrt{x})$

---

C'est une forme indéterminée "$+\infty -\infty$" que l'on peut "lever"
en transformant l'expression initiale en une expression équivalente pour la limite.
Pour commencer on a :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+\cos x}-\sqrt{x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+\cos x}-\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}$
La limite $\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+\cos x}$ va dépendre uniquement du terme dominant $x$
dans l'expression, $x+\cos x$, sous le radical. Puis-je en déduire que :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x+\cos x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\sqrt{x}?$
Dans ce cas là, on a l'équivalence suivante à la limite :
$\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+\cos x}-\sqrt{x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x}-\sqrt{x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }0=0$

Même si le résultat est juste, je ne sais pas si la rédaction est correcte ?

@+

[Zorro]

Bonjour,

moi je rédigerai ainsi

-1 ≤ cos(x) ≤ 1

donc x - 1 ≤ x + cos(x) ≤ x + 1

or en + infini, lim(x-1) = lim(x+1) = lim(x)

d'après théorème des gendarmes on bien

lim(x + cos(x)) = lim(x) donc ....

[FairMaths]

Merci pour ta réponse !
Citation
-1 ≤ cos(x) ≤ 1

donc x - 1 ≤ x + cos(x) ≤ x + 1

or en + infini, lim(x-1) = lim(x+1) = lim(x)
Donc, $\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x+\cos x}-\sqrt{x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }(\sqrt{x}-\sqrt{x})=\underset{x\to +\infty }{\lim }0=0?$

@+

[mtschoon]

Bonjour Zorro et bonjour FairMaths ,

Une autre méthode ( usuelle) pour éviter des "raccourcis" , mais qui a l'inconvénient d'être lourde... : passer par le conjugué et utiliser la limite d'un quotient .

$\text{f(x)=\sqrt{x+cosx}-\sqrt x=\frac{(\sqrt{x+cosx}-\sqrt x)(\sqrt{x+cosx}+\sqrt x)}{\sqrt{x+cosx}+\sqrt x}$

$\text{f(x)=\frac{(\sqrt{x+cosx})^2-(\sqrt x)^2}{\sqrt{x+cosx}+\sqrt x}=\frac{x+cosx-x}{{\sqrt{x+cosx}+\sqrt x}}=\fbox{\frac{cosx}{{\sqrt{x+cosx}+\sqrt x}}$

Comme l'a indiqué Zorro :

-1 ≤ cosx ≤ 1 ( donc numérateur borné )

x - 1 ≤ x + cosx ≤ x + 1 ( avec le théorème des deux gendarmes, on justifie que x+cosx tend vers +∞ lorsque x tend vers +∞ )

Ensuite , on déduit facilement que : $\text{\lim_{x\to +\infty} (\sqrt{x+cosx}+\sqrt x})=+\infty$

Lorsque x tend vers +∞ , f(x) est donc le quotient d'un numérateur borné avec un dénominateur tendant vers +∞ .
Sa limite est donc 0 .