Devoir sur les Suites

Bonjour à toute l'équipe de Math Forum!

Pendant ces vacnces de Noël où l'on pense plutôt à s'amuser et se reposer ma prof de math a eu la gentillesse de nous donné un DM à rendre pour la rentrée.
Elève de terminale S ayant des difficultées dans cette matière je me suis permise de m'adresser à vous dans le but d'obtenir un peu d'aide.

L'énoncé de l'exercice est le suivant:
On considère deux suites (Un) et (Vn) définies par Uo=2 et pour tout n de N
Vn = 2/Un et Un+1 = (Un +Vn)/2

*calculer sous forme de fractions irréductibles : Vo, U1, V1, U2 et V2 *
j'ai trouvé V0=1 U1=3/2 V1= 4/3 U2=17/12 et V2=24/17
Donner un tableau de valeurs approchées de Un et Vn pour n variant de 1 à 5
Pour cette question j'ai calculé V3, V4, V5 et U3, U4, U5 puis j'ai fait un tableau où g regroupé toutes les valeurs trouvées sous formes décimales. par contre je ne sais pas à combien de chiffre après la virgule faut-il s'arrêter.
Démontrer que les suites (Un) et (Vn) sont majorées par 2 et minorées par 1
ici j'ai utilisé un raisonnement par récurrence j'ai mis:
on pose pour tout n de N P(n): 1 <= Un <= 2
à l'ordre 0 U0=2 donc 1 <= U0 <= 2 Donc P(0) est vraie.
On suppose que pour un f fixé de N P(k) est vraie.
on veut prouver que la propriété est vraie à l'ordre k+1
alors 1 <= Uk <= 2
1+Vk <= Uk +Vk <= 2+Vk j'ai continué jusqu'à obtenir
(1/2)+(1/2)(Vk) <= Un+1 <= 1+ (1/2)Vk
la propriété est vraie à l'ordre k+1 donc P(n) est vraie
je pense que c'est faux mais c'est tout ce que j'ai trouvé pour cette question. de même je n'ai pas réussi pour (Vn)
[I]Montrer que pour tout n de N on a Un+1 - Vn+1 =(Un-Vn)²/(2(Un+Vn))[/I]
pour cette question j'obtient comme résultat
Un+1 - Vn+1 = (Un²+(4/Un²) - 4)/(2Un+(4/Un))
[I]Montrer que pour tout n de N, on a Un >= Vn[/I]
Je n'ai pas réussi cette question
Montrer que (Un) est décroissante et (Vn) croissante.
Pour (Un) décroissante j'ai cherché le signe de Un+1 - Un
j'obtiens Un+1 -Un =(-Un² +2)/(2Un) mais je ne sais pas comment trouvé le signe de (Un)
Pour (Vn) croissante j'ai fait la même chose et ai obtenu: Vn+1 - Vn=(2Un-(4/Un))/(Un²+2) jen'arrive pas non plus à trouver le signe de (Vn)
*Montrer que pour tout n de N on a Un - Vn <= 1
et en déduire que pour tout n de N, on a (Un-Vn)² <= Un-Vn[/I]
[I]Montrer que pourtout n de N Un+1- Vn+1 <= (1/4) (Un - Vn)[/I]
[I]En déduire que pour tout n de N Un-Vn <= $1/(4^n$ )*
montrer que les suites (Un) et (Vn) sont adjacentes et donner leur limite commune L

ici je sais seulement deux suites sont adjacentes si elles sont convergentes et de même limite.
je ne sais donc pas comment répondre aux questions 7), 8), 9) et 10)

Pourriez-vous m'aider à y répondre s'il vous plaît ?
je vous remercie d'avance pour votre aide.
PS: désolé pour les symboles: quand j'écris Un+1 ou Vn+1 cela signifie U indice (n+1) et V indice (n+1). c 'est la première fois que j'écris sur ce forum
Merci de votre compréhension

une chose avant éventuellement de se plonger dans ton exercice :
deux suites $a_n$ ) et $b_n$ ) sont adjacentes lorsque

i. $a_n$ ) est croissante, $b_n$ ) est décroissante,
ii. pour tout n on a $a_n$ <= $b_n$ ,
iii. $lim_{n -> + inf/}$ $b_n$ - $a_n$ ) = 0.

Dans ce cas alors, les deux suites sont convergentes et ont la même limite .

q. 3
l'hérédité : avec Uk compris entre 1 et 2, on a 1 <= 2/Uk <= 2
càd que Vk est compris entre 1 et 2. On a
(1+1)/2 <= (Uk+Vk)/2 <= (2+2)/2
càd 1 <= Uk+1 <= 2.
maintenant la récurrence fonctionne.
tu vois en passant que l'encadrement de Vn est immédiat, puisque dès que Uk est compris entre 1 et 2, tu as 1/2 <= Uk / 2 <= 1...