dm sur les suites - nombre d'or



  • Bonjours j'ai un dm et si possible j'aimerai connaitre vos proposition s'il-vous-plait?
    EXERCICE (nombre d'or)
    Soit la fonction f(x)=√1+x. On considère la suite Un définie par U0=1, Un+1=f(Un)

    On pose l=1+√5/2

    1. Résoudre l'équation f(x)=x sur
    2. Montrer la relation l-Un+1=l-Un/√(1+Un)+√(1+l)
      (utiliser la relation l=f(l) et surtout pas la valeur explicite de l)
      3)a/ Montrer par récurrence sur n qu'on a pour tout n Naturel , Un≤l.
      b/ Déduire des relations (1) et (2) l'inégalité suivante: pour tout n Naturel, l-Un+1≤(1/2)(l-Un)
      c/ Déduire de (3) par récurrence qu'on a la majoration: qu'on a pour tout n Naturel, l-Un≤(1/2)^n
      (l-W0).
    3. Montrer que Un est convergente et détérminer sa limite.
      Bon voilà Merci pour vos proposition.

  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste pour démarrer,

    L'équation 1+x=x\sqrt{1+x}=x ne peut avoir de solution que sur [0,+∞[

    Sue cette intervalle , tu élèves au carré : 1+x=x21+x=x^2

    En transposant : x2x1=0x^2-x-1=0

    Equation du second degré à résoudre : tu trouveras deux solutions et , vu l'intervalle , tu ne conserves que la positive ( qui doit être 1+52\frac{1+\sqrt 5}{2})



  • Merci beaucoup pour ton aide!! as-tu compris la 2) s'il te-plait?


  • Modérateurs

    Une petite aide pour la 2) : utilise l'indice donné dans l'énoncé

    $\text{l-u_{n+1}=f(l)-f(u_n)=\sqrt {1+l}-\sqrt{1+u_n}$

    Maintenant , tu multiplies et tu divises par la quantité conjuguée ( c'est à dire par(1+l+1+un)(\sqrt{1+l}+\sqrt{1+u_n} ) et tu vas trouver l'expression demandée.



  • Encore merci pour la 3b est-ce juste qu'il suffit de montrer que le dénominateur est supérieur à 2


  • Modérateurs

    Ton idée est bonne pour le 3)b)



  • excuse moi mais pour la 3c comment doit-on faire?


  • Modérateurs

    Pour la3)c) , comme te l'ndique l'énoncé , tu fais une récurrence en utilisant la propriété du 3)b)

    Initialisation: Tu vérifies à l'ordre 0

    Transmission( on dit aussi hérédité ) : Tu supposes la propriété vraie à un ordre n supérieur ou égal à 0( ou k , suivant les habitudes de ton professeur ) :

    lun(12)n(lu0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    Il faut en déduire la propriété à l'ordre (n+1) :

    D'après le 3)b) :

    lun+1(12)(lun)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})(l-u_n)

    Donc par transitivité de ≤ :

    lun+1(12)(12)n(lu0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    Tu transformes et tu trouves :

    lun+1(12)n+1(lu0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)



  • ok merci beaucoup



  • en fait pour la 4 comment fait-on?


  • Modérateurs

    La suite est majorée par l

    Démontre qu'elle est croissante et tu pourras en déduire qu'elle est convergente.



  • mtschoon
    Pour la3)c) , comme te l'ndique l'énoncé , tu fais une récurrence en utilisant la propriété du 3)b)

    Initialisation: Tu vérifies à l'ordre 0

    Transmission( on dit aussi hérédité ) : Tu supposes la propriété vraie à un ordre n supérieur ou égal à 0( ou k , suivant les habitudes de ton professeur ) :

    lun(12)n(lu0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    Il faut en déduire la propriété à l'ordre (n+1) :

    D'après le 3)b) :

    je comprend pas trop bien reexplique s'il-te-plait?
    lun+1(12)(lun)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})(l-u_n)

    Donc par transitivité de ≤ :

    lun+1(12)(12)n(lu0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    Tu transformes et tu trouves :

    lun+1(12)n+1(lu0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)

    Peut-tu expliquer s'il te-plait mais j'ai pas bien compris?


  • Modérateurs

    Indique la ( ou les ) ligne(s) que tu ne comprends pas.



  • j'ai pas compris le:
    Donc par transitivité de ≤ :

    l-Un+1≤(1/2)(1/2)n(1/2)(1/2)^n(l-U0)


  • Modérateurs

    Si tu ne connais pas le terme , cela n'a pas d'importance :
    il faut que tu comprennes que a ≤ b et b ≤ c => a ≤ c (****)

    Je détaille :

    Tu sais que : lun(12)n(lu0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    En multipliant les deux membres par 1/2 :

    12(lun)12(12)n(lu0)\frac{1}{2}(l-u_n)\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^n(l-u_0)

    c'est à dire :

    12(lun)(12)n+1(lu0)\frac{1}{2}(l-u_n)\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)

    Vu que : lun+112(lun)l-u_{n+1}\le \frac{1}{2}(l-u_n) ,

    En appliquant le principe (****) , tu obtiens :

    lun+1(12)n+1(lu0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)

    ( Je ne peux pas détailler plus )



  • ouais je comprend mieux merci


  • Modérateurs

    De rien et j'espère qu'au final tu auras trouvé que cette suite tend vers l ( nombre d'or ) !


 

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