dm sur les suites - nombre d'or

Bonjours j'ai un dm et si possible j'aimerai connaitre vos proposition s'il-vous-plait?
EXERCICE (nombre d'or)
Soit la fonction f(x)=√1+x. On considère la suite Un définie par U0=1, Un+1=f(Un)

On pose l=1+√5/2

Résoudre l'équation f(x)=x sur
Montrer la relation l-Un+1=l-Un/√(1+Un)+√(1+l)
(utiliser la relation l=f(l) et surtout pas la valeur explicite de l)
3)a/ Montrer par récurrence sur n qu'on a pour tout n Naturel , Un≤l.
b/ Déduire des relations (1) et (2) l'inégalité suivante: pour tout n Naturel, l-Un+1≤(1/2)(l-Un)
c/ Déduire de (3) par récurrence qu'on a la majoration: qu'on a pour tout n Naturel, l-Un≤(1/2)^n(l-W0).
Montrer que Un est convergente et détérminer sa limite.
Bon voilà Merci pour vos proposition.

Bonjour,

Piste pour démarrer,

L'équation $1+x=x\sqrt{1+x}=x$ ne peut avoir de solution que sur [0,+∞[

Sue cette intervalle , tu élèves au carré : $1+x=x^2$

En transposant : $x^2-x-1=0$

Equation du second degré à résoudre : tu trouveras deux solutions et , vu l'intervalle , tu ne conserves que la positive ( qui doit être $1+52\frac{1+\sqrt 5}{2}$ )

Merci beaucoup pour ton aide!! as-tu compris la 2) s'il te-plait?

Une petite aide pour la 2) : utilise l'indice donné dans l'énoncé

$\text{l-u_{n+1}=f(l)-f(u_n)=\sqrt {1+l}-\sqrt{1+u_n}$

Maintenant , tu multiplies et tu divises par la quantité conjuguée ( c'est à dire par $(1+l+1+un)(\sqrt{1+l}+\sqrt{1+u_n} )$ et tu vas trouver l'expression demandée.

Encore merci pour la 3b est-ce juste qu'il suffit de montrer que le dénominateur est supérieur à 2

Ton idée est bonne pour le 3)b)

excuse moi mais pour la 3c comment doit-on faire?

Pour la3)c) , comme te l'ndique l'énoncé , tu fais une récurrence en utilisant la propriété du 3)b)

Initialisation: Tu vérifies à l'ordre 0

Transmission( on dit aussi hérédité ) : Tu supposes la propriété vraie à un ordre n supérieur ou égal à 0( ou k , suivant les habitudes de ton professeur ) :

$l−un≤(12)n(l−u0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

Il faut en déduire la propriété à l'ordre (n+1) :

D'après le 3)b) :

$l−un+1≤(12)(l−un)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})(l-u_n)$

Donc par transitivité de ≤ :

$l−un+1≤(12)(12)n(l−u0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

Tu transformes et tu trouves :

$l−un+1≤(12)n+1(l−u0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)$

ok merci beaucoup

en fait pour la 4 comment fait-on?

La suite est majorée par l

Démontre qu'elle est croissante et tu pourras en déduire qu'elle est convergente.

mtschoon
Pour la3)c) , comme te l'ndique l'énoncé , tu fais une récurrence en utilisant la propriété du 3)b)

Initialisation: Tu vérifies à l'ordre 0

Transmission( on dit aussi hérédité ) : Tu supposes la propriété vraie à un ordre n supérieur ou égal à 0( ou k , suivant les habitudes de ton professeur ) :

$l−un≤(12)n(l−u0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

Il faut en déduire la propriété à l'ordre (n+1) :

D'après le 3)b) :

je comprend pas trop bien reexplique s'il-te-plait?
$l−un+1≤(12)(l−un)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})(l-u_n)$

Donc par transitivité de ≤ :

$l−un+1≤(12)(12)n(l−u0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

Tu transformes et tu trouves :

$l−un+1≤(12)n+1(l−u0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)$

Peut-tu expliquer s'il te-plait mais j'ai pas bien compris?

Indique la ( ou les ) ligne(s) que tu ne comprends pas.

j'ai pas compris le:
Donc par transitivité de ≤ :

l-Un+1≤ $1/2)(1/2)^n$ (l-U0)

Si tu ne connais pas le terme , cela n'a pas d'importance :
il faut que tu comprennes que a ≤ b et b ≤ c => a ≤ c (****)

Je détaille :

Tu sais que : $l−un≤(12)n(l−u0)l-u_n\le (\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

En multipliant les deux membres par 1/2 :

$12(l−un)≤12(12)n(l−u0)\frac{1}{2}(l-u_n)\le \frac{1}{2}(\frac{1}{2})^n(l-u_0)$

c'est à dire :

$12(l−un)≤(12)n+1(l−u0)\frac{1}{2}(l-u_n)\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)$

Vu que : $l−un+1≤12(l−un)l-u_{n+1}\le \frac{1}{2}(l-u_n)$ ,

En appliquant le principe (****) , tu obtiens :

$l−un+1≤(12)n+1(l−u0)l-u_{n+1}\le (\frac{1}{2})^{n+1}(l-u_0)$

( Je ne peux pas détailler plus )

ouais je comprend mieux merci

De rien et j'espère qu'au final tu auras trouvé que cette suite tend vers l ( nombre d'or ) !