résolution équation de degré4 dans l'ensemble des nombres complexes

Bonjour,

Cela fait maintenant plusieurs jours que je planche sur cette équation :
x^4+4x^2-21=0
Sans parvenir à trouver toutes les solutions.

J'ai déjà trouvé 2 solutions : √3 et -(√7)i , et ce, en posant X=x^2

J'en suis donc arrivé à la factorisation :
(x-√(3)) (x+√(7)i) (ax^2+bx+c) où ax^2+bx+c est un trinôme du second degré.

En développant cette expression et en procédant par identification, j'arrive à :
a = 1
b = √(7)i + √(3)
c = 21i/√(21)

Seulement, en essayant de trouver les racines de ce trinôme du second degré (c'est à dire les 2 solutions qui me manquent je pense), et bien, je bloque !
Pourtant, je pense que la méthode habituelle s'applique (discriminant,...)

Merci de prendre un peu de temps pour lire ce post, et me proposer vos solutions.
Je ne sais pas non plus si la méthode est la bonne.

Gohu

Bonsoir,

Je suppose que tu veux résoudre cette équation dans C

En posant x²=X , tu as l'équation auxiliaire : $x^2+4x-21=0$

Solutions : $x_1=3$ et $x_2=-7=7i^2$

Il te reste à retourner à l'inconnue x

$\text{x^2=3 \leftrightarrow x=\sqrt 3 ou x=-\sqrt 3$

$\text{x^2=7i^2 \leftrightarrow x=i\sqrt 7 ou x=-i\sqrt 7$

Tu obtiens ainsi les quatre solutions de l'équation proposée.

Merci beaucoup pour ta réponse
Oui, ce sont bien ces quatre solutions que je cherchais !
A bientôt,
Gohu

De rien.

A+