Suites définies par récurrence



  • Bonjour,

    Voici un exercice sur le thème des suites définies par récurrence. Les calculs sont assez simples, mais la logique autour de plusieurs suites liées entre elles...

    Deux suites unu_n et vnv_n sont définies ainsi :
    un+1=2unvnu_{n+1}=2u_n-v_n et u0=2u_0=2,
    vn+1=un+4vnv_{n+1}=u_n+4v_n et v0=1v_0=-1.

    1. Montrer que la suite pnp_n, définie par : pn=un+vnp_n=u_n+v_n, est géométrique,
    2. Démontrer le résultat qui en découle : vn+1=3n+3vnv_{n+1}=3^n+3v_n,
    3. Prouver que la suite znz_n définie par zn=vn3nz_n=\dfrac{v_n}{3^n} est arithmétique.

      1. Comme on peux manipuler directement un+1u_{n+1} et vn+1v_{n+1},
        on exprime la suite pnp_n avec :
        pn+1=un+1+vn+1=2unvn+un+4vn=3un+3vn=3×(un+vn)p_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=2u_n-v_n+u_n+4v_n=3u_n+3v_n=3\times(u_n+v_n)
        Soit pn+1=3×pnp_{n+1}=3\times p_n, une suite géométrique de raison q=3q=3.
        Plus explicitement on a : pn=p0×3n=u0+v0=1×3n=3np_n=p_0\times 3^n=u_0+v_0=1\times 3^n=3^n.
      1. Avec un regroupement judicieux (pas facile à voir) on a :
        vn+1=un+4vn=(un+vn)+3vn=pn+3vn=3n+3vnv_{n+1}=u_n+4v_n=(u_n+v_n)+3v_n=p_n+3v_n=3^n+3v_n. CQFD
      1. Pour savoir si la suite znz_n est arithmétique on exprime la différence :
        zn+1zn=vn+13n+1vn3n=3n+3vn3n+1vn3nz^{n+1}-z^n=\dfrac{v_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{3^n+3v_n}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}
        Ouf tous les calculs se simplifient ! En effet :
        zn+1zn=3n3n+1+3vn3n+1vn3n=13+vn3nvn3n=13z^{n+1}-z^n=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}+\dfrac{3v_n}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{v_n}{3^n}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}.
        C'est une constante, znz_n est une suite arithmétique de raison r=13r=\dfrac{1}{3}.

    J'espère que c'est bon, car c'est exercice m'a donné beaucoup de mal !
    Merci beaucoup pour la vérification,

    @+ 😄


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Cela me parait tout fait bon ! Bravo !

    Tu peux même ajouter que (zn)(z_n) est la suite arithmétique de raison r=13r=\frac{1}{3} et de premier terme z0=v0=1z_0=v_0=-1



  • Merci pour ta réponse.
    J'ai oublié de mettre les parenthèses autour des noms des suites, à ne pas confondre avec le rangnn de chacune d'elles.


  • Modérateurs

    De rien... je n'ai rien eu à faire .

    C'est exact pour l'oubli des parenthèses ( pour le nom des suites ) , mais personne n'est parfait !

    Tu as fait du très bon travail !


 

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