Suites définies par récurrence

Bonjour,

Voici un exercice sur le thème des suites définies par récurrence. Les calculs sont assez simples, mais la logique autour de plusieurs suites liées entre elles...

Deux suites $u_n$ et $v_n$ sont définies ainsi :
$u_{n+1}=2u_n-v_n$ et $u_0=2$ ,
$v_{n+1}=u_n+4v_n$ et $v_0=-1$ .

Montrer que la suite $p_n$ , définie par : $p_n=u_n+v_n$ , est géométrique,
Démontrer le résultat qui en découle : $v_{n+1}=3^n+3v_n$ ,
Prouver que la suite $z_n$ définie par $zn=vn3nz_n=\dfrac{v_n}{3^n}$ est arithmétique.

1. Comme on peux manipuler directement $u_{n+1}$ et $v_{n+1}$ ,
  on exprime la suite $p_n$ avec :
  $pn+1=un+1+vn+1=2un−vn+un+4vn=3un+3vn=3×(un+vn)p_{n+1}=u_{n+1}+v_{n+1}=2u_n-v_n+u_n+4v_n=3u_n+3v_n=3\times(u_n+v_n)$
  Soit $pn+1=3×pnp_{n+1}=3\times p_n$ , une suite géométrique de raison $q = 3$ .
  Plus explicitement on a : $pn=p0×3n=u0+v0=1×3n=3np_n=p_0\times 3^n=u_0+v_0=1\times 3^n=3^n$ .
1. Avec un regroupement judicieux (pas facile à voir) on a :
  $v_{n+1}=u_n+4v_n=(u_n+v_n)+3v_n=p_n+3v_n=3^n+3v_n$ . CQFD
1. Pour savoir si la suite $z_n$ est arithmétique on exprime la différence :
  $zn+1−zn=vn+13n+1−vn3n=3n+3vn3n+1−vn3nz^{n+1}-z^n=\dfrac{v_{n+1}}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{3^n+3v_n}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}$
  Ouf tous les calculs se simplifient ! En effet :
  $zn+1−zn=3n3n+1+3vn3n+1−vn3n=13+vn3n−vn3n=13z^{n+1}-z^n=\dfrac{3^n}{3^{n+1}}+\dfrac{3v_n}{3^{n+1}}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}+\dfrac{v_n}{3^n}-\dfrac{v_n}{3^n}=\dfrac{1}{3}$ .
  C'est une constante, $z_n$ est une suite arithmétique de raison $r=13r=\dfrac{1}{3}$ .

J'espère que c'est bon, car c'est exercice m'a donné beaucoup de mal !
Merci beaucoup pour la vérification,

@+

Bonjour,

Cela me parait tout fait bon ! Bravo !

Tu peux même ajouter que $z_n)$ est la suite arithmétique de raison $r=13r=\frac{1}{3}$ et de premier terme $z_0=v_0=-1$

Merci pour ta réponse.
J'ai oublié de mettre les parenthèses autour des noms des suites, à ne pas confondre avec le rang $n$ de chacune d'elles.

De rien... je n'ai rien eu à faire .

C'est exact pour l'oubli des parenthèses ( pour le nom des suites ) , mais personne n'est parfait !

Tu as fait du très bon travail !