Aidez-moi s'il vous plaît gros prôblème dans un exercice de maths spé!!!

Bonjour à tous

J'ai un gros problème pour mon exercice de maths spé sur l'arithmétique.
Voici l'énoncé :

a et b deux entiers naturels tels que :
(1) PPCM (a, a+5) = PPCM (b, b+5)
On appelle M la valeur commune de ces deux PPCM.

1- Démontrer que M est premier avec 5 ou que M est un multiple de 5.
2. Supposons que M soit premier avec 5.
a- Démontrer qu'il en est de même pour a et b.
b- Démontrer que l'égalité (1) implique :
a(a+5)=b(b+5)
c. En déduire que a=b.
3.Supposons que M soit un multiple de 5.
a. Démontrer qu'il en est de même pour a et b.
b. En déduire que a=b.

Si vous avez une petite idée aidez-moi svp :frowning2: :frowning2:

Alors ca mon jeune ami, c'est de la logique et il faut que tu travailles ca sérieusement pour bien tout maitriser mais je te fais confiance pour cela.

Pour t'aider à comprendre voici une petite correction de ton exercice, je te laisse le soin de faire la partie 3 pour que tu t'exerces.

1)Posons D=PGCD(b,5) on en déduit alors D=PGCD(b,5)=PGCD(b, B+5)

il existe donc d’après ton cours u et v entiers relatifs tels que: b.u+5.v=D
Une astuce consiste à ajouter et à retrancher v.b ce qui va te donner bu+vb-vb+5v=D

d’où b(u-v)+v(b+5)=D ainsi D=PGCD(b,b+5) or comme b(b+5)=M.D et D=PGCD(b,5) il est alors évident que D divise 5 donc D=1 ou D=5.

Mais si D= 1 alors 5 ne divise pas b et on a b(b+5)=M avec M premier avec 5 (car sinon 5 diviserait b).

Dès lors, si D=5 alors 5 divise b donc 5 divise M .

d’où la conclusion…

2a) Supposons que M est premier avec 5
Dès lors D=1 et M=b(b+5)=a(a+5)

Considérons d un diviseur commun à a et à b.

M=b(b+5)=a(a+5) => b divise a+5 => d divise b et a+5 => d divise 5
Mais si d=5 alors D=5 et M n'est plus premiers avec 5 => d=1

donc a et b sont premiers entre eux.

2b) M=b(b+5)=a(a+5) vient d’être montré => b(b+5)=a(a+5)

2c) b(b+5)=a(a+5) => a divise b+5 et b divise a+5 ce qui implique :
a<=b+5
b<=a+5

Et cela n'est possible que si a=b

MEME RAISONNEMENT, POUR VOIR SI TU AS COMPRIS

@+

Sophie

Merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
Je vais tâcher de bien travailler ça.
Bonnes fêtes!!!