Aidez-moi s'il vous plaît gros prôblème dans un exercice de maths spé!!!



  • Bonjour à tous

    J'ai un gros problème pour mon exercice de maths spé sur l'arithmétique.
    Voici l'énoncé :

    a et b deux entiers naturels tels que :
    (1) PPCM (a, a+5) = PPCM (b, b+5)
    On appelle M la valeur commune de ces deux PPCM.

    1- Démontrer que M est premier avec 5 ou que M est un multiple de 5.

    1. Supposons que M soit premier avec 5.
      a- Démontrer qu'il en est de même pour a et b.
      b- Démontrer que l'égalité (1) implique :
      a(a+5)=b(b+5)
      c. En déduire que a=b.
      3.Supposons que M soit un multiple de 5.
      a. Démontrer qu'il en est de même pour a et b.
      b. En déduire que a=b.

    Si vous avez une petite idée aidez-moi svp :frowning2: :frowning2:



  • Alors ca mon jeune ami, c'est de la logique et il faut que tu travailles ca sérieusement pour bien tout maitriser mais je te fais confiance pour cela.

    Pour t'aider à comprendre voici une petite correction de ton exercice, je te laisse le soin de faire la partie 3 pour que tu t'exerces.

    1)Posons D=PGCD(b,5) on en déduit alors D=PGCD(b,5)=PGCD(b, B+5)

    il existe donc d’après ton cours u et v entiers relatifs tels que: b.u+5.v=D
    Une astuce consiste à ajouter et à retrancher v.b ce qui va te donner bu+vb-vb+5v=D

    d’où b(u-v)+v(b+5)=D ainsi D=PGCD(b,b+5) or comme b(b+5)=M.D et D=PGCD(b,5) il est alors évident que D divise 5 donc D=1 ou D=5.

    Mais si D= 1 alors 5 ne divise pas b et on a b(b+5)=M avec M premier avec 5 (car sinon 5 diviserait b).

    Dès lors, si D=5 alors 5 divise b donc 5 divise M .

    d’où la conclusion…

    2a) Supposons que M est premier avec 5
    Dès lors D=1 et M=b(b+5)=a(a+5)

    Considérons d un diviseur commun à a et à b.

    M=b(b+5)=a(a+5) => b divise a+5 => d divise b et a+5 => d divise 5
    Mais si d=5 alors D=5 et M n'est plus premiers avec 5 => d=1

    donc a et b sont premiers entre eux.

    2b) M=b(b+5)=a(a+5) vient d’être montré => b(b+5)=a(a+5)

    2c) b(b+5)=a(a+5) => a divise b+5 et b divise a+5 ce qui implique :
    a<=b+5
    b<=a+5

    Et cela n'est possible que si a=b

    1. MEME RAISONNEMENT, POUR VOIR SI TU AS COMPRIS

    @+

    Sophie



  • Merci beaucoup!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
    Je vais tâcher de bien travailler ça.
    Bonnes fêtes!!! 😄


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