dérivee d'une racine carrée



  • Bonjour

    f(x)= x2x+3\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+3}}
    f'(x) = 5(x+3)22x2x+3\frac{\frac{5}{(x+3)^{2}}}{2\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}
    sur un corrigé, il est indiqué:
    f'(x)=52x2(x+3)3\frac{5}{2\sqrt{x-2} (\sqrt{x+3})^{3}}
    Je ne comprend pas la simplification!

    Merci pour votre aide



  • Bonjour,

    Ok on a : f(x)=5(x+3)22x2x+3=52×[1(x+3)2×1x2x+3]f'(x)=\dfrac{\dfrac{5}{(x+3)^{2}}}{2\sqrt{\dfrac{x-2}{x+3}}}=\dfrac{5}{2}\times\left[\dfrac{1}{(x+3)^{2}}\times\dfrac{1}{{\sqrt{\dfrac{x-2}{x+3}}}}\right]
    Tu peux simplifier l'écriture et introduisant les puissances fractionnées.
    En effet : x+3=(x+3)12\sqrt{x+3}=(x+3)^{\dfrac{1}{2}}
    et dans ce cas, au dénominateur entre les crochets de f(x)f'(x), on a :
    $\sqrt{x-2}\times\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)^{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{x-2}\times{(x+3)^{2-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{x-2}\times{(x+3)^{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{x-2}\times\sqrt{(x+3)^3}$
    En définitive tu as bien : f(x)=52×1x2×(x+3)3f'(x)=\dfrac{5}{2}\times\dfrac{1}{\sqrt{x-2}\times\sqrt{(x+3)^3}}
    Voilà 😄



  • Bonsoir

    Je n'ai pas encore étudié les puissances fractionnées et je ne comprend pas comment on arrive au dénominateur à x2\sqrt{x-2}x(x+3)2(x+3)12\frac{(x+3)^{2}}{(x+3)^{\frac{1}{2}}}!!! 😕 Quelle méthode avez vous utilisée???

    Merci


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    Je reprends sans les exposants fractionnaires.

    $f'(x)=\frac{\frac{5}{(x+3)^{2}}}{2{\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+3}}}$

    f(x)=5(x+3)2×x+32x2f'(x)=\frac{5}{(x+3)^{2}}\times \frac{\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x-2}}

    Il faut que tu penses que (x+3)2=(x+3)4(x+3)^2=(\sqrt{x+3})^4

    Donc :

    f(x)=5x+34×x+32x2f'(x)=\frac{5}{\sqrt{x+3}^4}\times \frac{\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x-2}}

    En simplifiant par x+3\sqrt{x+3} , tu obtiens le résultat voulu.



  • Bonsoir!

    Merci pour votre explication détaillée. J'ai enfin compris!!! 😉


  • Modérateurs

    Parfait !

    A+


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