dérivee d'une racine carrée

[arone]

Bonjour

f(x)= $\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+3}}$
f'(x) = $\frac{\frac{5}{(x+3{)}^2}}{2\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}$
sur un corrigé, il est indiqué:
f'(x)=$\frac{5}{2\sqrt{x-2}(\sqrt{x+3}{)}^3}$
Je ne comprend pas la simplification!

Merci pour votre aide

[FairMaths]

Bonjour,

Ok on a : $f^{\prime }(x)=\frac{\frac{5}{(x+3{)}^2}}{2\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}=\frac{5}{2}\times \left[\frac{1}{(x+3{)}^2}\times \frac{1}{\sqrt{\frac{x-2}{x+3}}}\right]$
Tu peux simplifier l'écriture et introduisant les puissances fractionnées.
En effet : $\sqrt{x+3}=(x+3{)}^{\frac{1}{2}}$
et dans ce cas, au dénominateur entre les crochets de $f^{\prime }(x)$, on a :
$\sqrt{x-2}\times\dfrac{(x+3)^2}{(x+3)^{\dfrac{1}{2}}}=\sqrt{x-2}\times{(x+3)^{2-\dfrac{1}{2}}=\sqrt{x-2}\times{(x+3)^{\dfrac{3}{2}}=\sqrt{x-2}\times\sqrt{(x+3)^3}$
En définitive tu as bien : $f^{\prime }(x)=\frac{5}{2}\times \frac{1}{\sqrt{x-2}\times \sqrt{(x+3{)}^3}}$
Voilà

[arone]

Bonsoir

Je n'ai pas encore étudié les puissances fractionnées et je ne comprend pas comment on arrive au dénominateur à $\sqrt{x-2}$x$\frac{(x+3{)}^2}{(x+3{)}^{\frac{1}{2}}}$!!! Quelle méthode avez vous utilisée???

Merci

[mtschoon]

Bonsoir,

Je reprends sans les exposants fractionnaires.

$f'(x)=\frac{\frac{5}{(x+3)^{2}}}{2{\frac{\sqrt{x-2}}{\sqrt{x+3}}}$

$f^{\prime }(x)=\frac{5}{(x+3{)}^2}\times \frac{\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x-2}}$

Il faut que tu penses que $(x+3{)}^2=(\sqrt{x+3}{)}^4$

Donc :

$f^{\prime }(x)=\frac{5}{{\sqrt{x+3}}^4}\times \frac{\sqrt{x+3}}{2\sqrt{x-2}}$

En simplifiant par $\sqrt{x+3}$ , tu obtiens le résultat voulu.

[arone]

Bonsoir!

Merci pour votre explication détaillée. J'ai enfin compris!!!

[mtschoon]

Parfait !

A+