3. Le plan complexe (représentation géométrique)

Le plan complexe (représentation géométrique)

  • G

    Bonjour,

    J'ai à résoudre l'exercice suivant :

    Soit zzz un nombre complexe quelconque différent de 4. On pose z=x+iyz=x+iyz=x+iy où xxx et yyy sont des réels.

    a) Déterminer, en fonction de xxx et yyy, les parties réelles et imaginaires du nombre complexe : a=iz−4z−4a=\frac{iz-4}{z-4}a=z−4iz−4​

    Voici comment je propose de procéder :
    a=iz−4z−4a=\frac{iz-4}{z-4}a=z−4iz−4​

    a=i(x+iy)−4x+iy−4=(ix−y−4)(−4+x−iy)(−4+x+iy)(−4+x−iy)=−4ix+4y+16+ix2−xy−4x+xy+iy2+4iy(x−4)2+y2a=\frac{i(x+iy)-4}{x+iy-4}=\frac{(ix-y-4)(-4+x-iy)}{(-4+x+iy)(-4+x-iy)}=\frac{-4ix+4y+16+ix^2-xy-4x+xy+iy^2+4iy}{(x-4)^2+y^2}a=x+iy−4i(x+iy)−4​=(−4+x+iy)(−4+x−iy)(ix−y−4)(−4+x−iy)​=(x−4)2+y2−4ix+4y+16+ix2−xy−4x+xy+iy2+4iy​

    Donc a=(4y+16−4x)+i(x2+y2+4y−4x)(x−4)2+y2a=\frac{(4y+16-4x)+i(x^2+y^2+4y-4x)}{(x-4)^2+y^2}a=(x−4)2+y2(4y+16−4x)+i(x2+y2+4y−4x)​

    D'où
    re(a)=4y+16−4x(x−4)2+y2=4(y+4−x)(x−4)2+y2re(a)=\frac{4y+16-4x}{(x-4)^2+y^2}=\frac{4(y+4-x)}{(x-4)^2+y^2}re(a)=(x−4)2+y24y+16−4x​=(x−4)2+y24(y+4−x)​
    et
    im(a)=x2+y2−4x+4y(x−4)2+y2im(a)=\frac{x^2+y^2-4x+4y}{(x-4)^2+y^2}im(a)=(x−4)2+y2x2+y2−4x+4y​

    b) Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. Déterminer l'ensemble eee des points mmm du plan d'affixe zzz, tels que aaa soit un nombre réel.

    Et là... je bloque.
    Je sais que z=x+iyz=x+iyz=x+iy est un réel ssi i=0i=0i=0 ou y=0y=0y=0
    Mais après, je ne vois pas par où continuer, comment utiliser la réponse précédente.

    Voilà, si quelqu'un pourrait avoir la gentillesse de m'aider, de me proposer des solutions,
    Merci d'avance 🙂
    Gohu

    mtschoon 1 réponse
  • mtschoon

    Bonsoir,

    "i=0" n'a pas de sens ( regarde ton cours )

    Principe : A réel <=> Im(A)=0

    Utilise l'expression de Im(A) que tu as trouvée

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