exercice raisonnement par récurrence

Bonjour, j'aurais besoin de votre aide pour un exercice sur le raisonnement par récurrence:

On considère la suite t(n) définie pour tout entier naturel n par t0=0et t(n+1)=t(n)+1/(n+1)(n+2)
Montrer que t(n)=n/(n+1)

Donc je fait un raisonnement par récurrence:

Nommons P(n) l'égalité "n/n+1)"

Initialisation
P(0)= 0/(0+1)=0/1 (je ne pense pas que ça soit ça mais je bloque dès l'initialisation)

Merci d'avance pour votre aide

Bonjour,

Fais attention à l'écriture : ne confonds pas P(n) avec $t_n$

P(n) ( qui veut dire "propriété à l'ordre n" ) est : $tn=nn+1t_n=\frac{n}{n+1}$

Pourl'initialisation, tu y es presque.

Tu sais par hypothèse que $t_0=0$

avec la propriété P(0) : $t0=01=0t_0=\frac{0}{1}=0$

Donc , la propriété est donc bien vraie à l'ordre 0

Essaie la transmission ( on dit aussi "hérédité " )

Donc ca donne:

Nommons P(n) l'égalité "t(n)=n/(n+1)"

Initialisation
t(0)=0 et t0=0/(0+1)=0
P(0) est vrai, P(n) est initialisé

Hérédité
[là je bloque encore :s faut-il remplacer tn par n/(n+1) dans l'expression de tn+1 ? mais pour quoi faire ? ]

Piste pour l'hérédité,

A un ordre n ( n ≥ 0 ) , tu supposes que $tn=nn+1t_n=\frac{n}{n+1}$ (* C'est à dire P(n) vraie*)

Il faut démontrer que cette propriété est vraie à l'ordre (n+1) , c'est à dire :

$tn+1=n+1n+2t_{n+1}=\frac{n+1}{n+2}$ (***) ( c'est à dire P(n+1) vraie *)

DEMONSTRATION :

$tn+1=tn+1(n+1)(n+2)t_{n+1}=t_n+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

En utilisant l'hypothèse de la récurence ( c'est à dire P(n) )

$tn+1=nn+1+1(n+1)(n+2)t_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}$

Il te reste à réduire au même dénominateur , à simplifier et tu dois trouver la formule ()

Supposons P(k) vrai a t on P(k+1) vrai ?
Pk+1=(k+1)/(k+1+1) + 1/(k+1+1)(k+1+2)
Pk+1=(k+1)/(k+2) + 1/(k+2)(k+3)
Pk+1=((k+1)*(k+3)+1)/((k+2)(k+3))
Pk+1=(k²+4k+4)/(k²+6k+6)

c'est ca ? mais comment factoriser ?

Je t'ai déjà dit de ne pas confondre la propriété P(k) avec $t_{k }$ , ainsi que P(k+1) avec $t_{k+1}$ ...

Revois le principe

$tk+1=kk+1+1(k+1)(k+2)t_{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

Tu réduis au même dénominateur .

Conserve le dénominateur factorisé , sinon tu ne pourras pas simplifier.

Au final , tu dois trouver :

$tk+1=k+1k+2t_{k+1}=\frac{k+1}{k+2}$

bah comment fait on?

$tk+1=kk+1+1(k+1)(k+2)t_{k+1}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$tk+1=k(k+2)(k+1)(k+2)+1(k+1)(k+2)t_{k+1}=\frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+\frac{1}{(k+1)(k+2)}$

$tk+1=k(k+2)+1(k+1)(k+2)t_{k+1}=\frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}$

$tk+1=k2+2k+1(k+1)(k+2)t_{k+1}=\frac{k^2+2k+1}{(k+1)(k+2)}$

Au numérateur , tu dois reconnaître une identité ramarquable , ce qui te permettra de faire une simplification et de trouver la réponse souhaitée.