DM sur les dérivations



  • Voila c'est les vacances et mon proff de math ne sais visiblement pas ce que c'est lol, il nous a donner un dm que je trouve bien difficile. Donc s'il y en a un qui pourrait m'aider svp ca serait bien gentil de sa part.
    jai fait une partie mais le reste jy arrive pas.
    Voici l'enoncée :

    Le but de cet exercice : obtenir une approximatin affine de sqrtsqrt(1+h) pour h voisin de zero et de connaitre une majoration de l'erreur.

    Soit f la fonction définie par f(x)= sqrtsqrtx.

    1. Donner l'approximation affine de f au voisinage de 1.
      Moi je trouve 1/2.

    2. *Montrer que l'erreur commise en remplacant sqrtsqrt(1+h) par son approximation est e(h)= -h² /((4( sqrtsqrt(1+h)+(1+h/2)))
      et que si |h| <= 1/2 , alors |e(h)| <= h²/4[/I]

    3. [I]Application numérique:
      Sans calculatrice donner une valeur approchée des nombres suivant et un majorantde l'erreur commise:
      sqrtsqrt1.002 ; sqrtsqrt0.996 ; sqrtsqrt4.0008*

    4. On trouve dans un manuel d'aviation une formule donnat la distance L qui sépare l'horizon, un avion volant à une altitude d au dessus de la mer :
      L= sqrtsqrtdD , ou D est le diametre de la terre

    a) Montrer que la formule exacte est L= sqrtsqrtdD+d² = sqrtsqrtdD foi/ (sqrtsqrt1+d/D)

    Ici, il faut que tu écrives mieux les radicandes ! (N. d. Z.)

    b) Justifier l'utilisation de la formule du manuel.

    c) En utilisant les resultats de 1, trouver une autre formule d'approximation.

    d) Application numérique : D=12757km et h=10.5km.
    Calculer en km à 10 mètres près les approximations de L obtenues avec trois formules.

    Voil je sais qu'il est un peu long mais si quelquun pouvait me mettre sur la bonne voie je lui en serait très reconnaissant.
    merci encore.



  • ok alors ds la question4a) c'est :
    Montrer que la formule exacte est
    L= sqrtsqrt(dD+d^2 )= sqrtsqrt(dD) foi/ ( sqrtsqrt(1+(d/D)))

    merci



    1. tu n'as donné que le nombre dérivé de f en 1.
      l'équation de la tangente à f : x -> sqrtsqrtx en 1 est
      y = 1/(2sqrtsqrt1) (x - 1) + 1 = 1/2 x + 1/2
      qui donne l'approximation f(x) ~ 1/2 (x + 1) pour x ~ 1.


  • ok dac merci mais pour la question 2 on fait comment alors car je ne comprend pas trop comment on trouve ce resultat car moi je fait autre chose mais je trouve pas ca, donc si tu peut m'aider stp
    merci



  • salut.

    en posant x = 1+h, c'est-à-dire h = x-1, on a

    y = (1/2) h +1.

    l'erreur
    e(h) = sqrtsqrt(1+h) - (h+2)/2
    se traite au moyen de l'expression conjuguée,
    en faisant attention au carré de (h+2)/2...



  • ok, mais ce que je ne comprend pas c'est que ce -h^2 on le sort d'ou, je veut bien te croire mais toi tu me dit

    e(h) = sqrtsqrt(1+h) - (h+2)/2

    alors que l'ennoncer dit :

    e(h)= -h² /((4( sqrtsqrt(1+h)+(1+h/2)))

    et moi la je ne m'en sort plus lol
    désolé mais quant je commence un truc jaime bien le terminer et la jai besoin de toi lol merci de ton aide



  • c'est lorsque tu calcules cette différence au moyen de l'expression conjuguée que tu obtiens ce "-h²" au numérateur.
    rappel : sqrtsqrtu - v = (u - v²) / (sqrtsqrtu + v).



  • ha ca je ne connait pas, les radicandes c'est lequels qui st sous la racine? et on l'apprend quand cette formule et tu pourrait m'expliquer ce que tu as fait car jai pas tout suivit la, stp lol merci encore



  • pour les radicandes, la notation est sans ambiguité.

    la formule n'est qu'un cas particulier de a² - b² = (a - b)(a + b).

    je multiplie numérateur et dénominateur par (sqrtsqrtu + v).



  • ha ca y est je vois ce que tu as fait, je comprend la formule mais pourquoi est comment on le fait et a quoi ca sert, je veut dire par rapport à l'enoncer on doit faire quoi pour en arriver la.



  • Pour évaluer la différence, on a besoin de transformer l'expression initiale ; l'expression conjuguée est un bon moyen pour cela.

    On multiplie donc au numérateur et au dénominateur par
    sqrtsqrt(1+h) + h/2 + 1).

    On obtient
    e(h) = -h² / (4(sqrtsqrt(1+h) + h/2 + 1)).



  • daccord peut etre que tu va te dire que je ny connais rien mais ca nest pas vraie lol, bon je ne sais pas ce que c'est une expression conjuguée et a partir de quelle expression tu multiplie par sqrtsqrt(1+h) + h/2 + 1).
    sinon je commence a voir un peu mais maintenant les regles de calcul je vois ce que tu fait au moins lol
    merci



  • c'est jamais que du vocabulaire.
    certains profs font ça en 2de...
    sqrtsqrtu + v est l'expression conjuguée de sqrtsqrtu - v ;
    ça a pour effet comme je te l'ai déjà dit de supprimer une racine carré au numérateur.
    il en apparaît certes une autre au dénominateur, mais moins gênante, tu verras.



  • et alors donc, tu multiplies ainsi :

    [ sqrtsqrt(1+h) - (h/2 + 1) ] foi/ [ sqrtsqrt(1+h) + (h/2 + 1) ] / [ sqrtsqrt(1+h) + (h/2 + 1) ]

    développe, simplifie, etc...



  • ok merci tu sais que depuis que tu es la japprend plein de vocabulaire je ten remercie encore.
    alors maintenant que je sais ce que c'est, tu part de quoi pour arriver à
    e(h)= -h² /((4( sqrtsqrt(1+h)+(1+h/2)))
    merci



  • je vois ce que tu veut faire mais je ne vois pas de quoi tu part, c'est un peu embettant lol

    reprends à mon post de 15h21 et à celui de 20h33 (N. d. Z.)



  • Je vais te laisser avec cette indication pour la question suivante (je suppose que tu réussiras à mener le calcul précédent)

    supposant |h| <= 1/2
    c'est-à-dire
    [B]-1/2 <= h <= 1/2[/B]
    (hé oui !)

    il faut que tu arrives à montrer que
    sqrtsqrt(1+h) + h/2 + 1 >= 1
    (bon courage !)

    car alors en prenant l'inverse, tu auras
    1 / [ sqrtsqrt(1+h) + h/2 + 1 ] <= 1
    n'est-ce pas, ce qui prouvera bien
    |e(h)| <= h²/4...

    c'est une question vraiment difficile en 1re si vous n'avez jamais fait de tel exo en classe avant...



  • oui je suis daccord en quoi lexercice est difficile dailleur c'est pour ca que jai demander votre aide. Alors en developpant je trouve
    -1/2 <= h <= 1/2
    -1/4 <= h/2 <= 1/4
    sqrtsqrt(1+h)+1-1/4 <= sqrtsqrt(1+h)+1+h/2 <= 1/4+ sqrtsqrt(1+h)+1
    sqrtsqrt(1+h) +3/4<= sqrtsqrt(1+h)+h/2+1 <= 5/4+ sqrtsqrt(1+h)

    mais comment je peut supposer que sqrtsqrt(1+h) <= 1/4
    pour arriver a
    sqrtsqrt(1+h)+h/2+1 >= 1

    sinon ce que jai fait est il juste?



  • attention : il faut que tu montres que 1/4 <= sqrtsqrt(1+h).

    pour cela encadre sqrtsqrt(1+h) sachant -1/2 <= h <= 1/2
    (avec la croissance de la racine carrée).


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