fonction vérifiant f(x).f(y)-f(xy)=x+y


  • T

    Salut les gars . en fait je voulais vous faire part d' un exercice qui m' a valu beaucoup de temps et que malheureusement je n ai toujours pas réussi à résoudre . Donc voici les données de l exercice :
    soit ƒ une fonction définie sur ℝ tel que
    (P) : ∀(x,y)∈ℝ² : f(x)*f(y) - f(xy) =x+y

    • On me demande d'abord de calculer f(0) . (là j ai bloqué complètement )
    • On me demande ensuite de démontrer que l'assertion f(0)=0 est fausse. (Aucune idéé ne m est venue à l esprit)
    • Enfin on me demande de déduire toutes les fonctions ƒ qui vérifient la propriété (P) (Là encore je n' ai rien pu faire 😕 ).
      Donc si quelqu'un pourrait m'aider a m en sortir :rolling_eyes: , son aide serait la bienvenue . MERCI d'AVANCE 😁 !!!

  • mtschoon

    Bonjour,

    Piste ,

    Pour x=0 et y=0, tu obtiens :

    f(0).f(0)-f(0.0)=0+0

    [f(0)]²-f(0)=0

    En factorisant :

    f(0)[f(0)-1]=0 <=> f(0)=0 ou f(0)=1

    Pour démontrer que l'assertion f(0)=0 est fausse , je te suggère de calculer f(x).f(0) pour x≠ 0 et tu trouveras une contradiction.

    Il ne reste donc que f(0)=1
    Je te suggère encore , dans ce cas , de calculer f(x).f(0) pour x≠ 0 et tu trouveras l'expression de f(x)


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