calculs de sommes simples et doubles

Bonsoir,

J'essaye de faire des exercices de BCPST 1ère année et j'ai du mal. Voici mon exercice. Je suis bloqué sur la fin.

1.Pour n∈ $mathbb{N}$ , on pose : $un=∑j=0n∑k=jn2ku_{n}=\sum_{j=0}^{n} \sum_{k=j}^{n}{2^{k}}$
a)Soit (p,q) ∈ $mathbb{N}$ ² tel que p≤q. Montrer que $∑k=pq2k=2q+1−2p\sum_{k=p}^{q}{2^k}=2^{q+1}-2^p$
b)En déduire que, pour tout n∈ $mathbb{N}$ : $u_{n}=n2^{n+1}+1$

a)Montrer que pour tout n∈ $mathbb{N}$ : $un=∑k=0n(k+1)2ku_{n}=\sum_{k=0}^{n}{(k+1)2^k}$ . On pourra permuter les symboles sommes.
b)En déduire que pour tout n∈ $mathbb{N}$ : $∑k=0nk2k−1=(n−1)2n+1\sum_{k=0}^{n}{k2^{k-1}}=(n-1)2^n+1$

a)A l'aide de la question précédente, calculer : $∑i=0n∑k=0i(k+1)2k\sum_{i=0}^{n}\sum_{k=0}^{i}(k+1)2^k$
b)En déduire la valeur de $∑k=0nk(k+1)2k\sum_{k=0}^{n}{k(k+1)2^k}$
c)Que vaut la somme $∑k=0nk22k\sum_{k=0}^{n}{k^22^k}$ ?

Je suis bloqué à la 3.b)

Un petit coup de pouce s'il-vous-plaît ?

Bonsoir Thierry,

J'ai regardé (* superficiellement *...) l'énoncé.

A la 1)a) , n'y a-t-il pas une faute de frappe ?

la formule ne se terminerait-elle pas par $2^p$ au lieu de $2$ ?

Pour la 3)b) , en permutant les symboles ∑ de l'expression du 3)a) que tu as calculée , il me semble que tu dois pouvoir faire apparaître l'expression du 3)b)

( A vérifier , car je n'ai pas fait les calculs )

Bon courage !

Hello !

Oups... pardon pour la faute de frappe : je l'ai corrigée.

J'ai eu en effet l'idée de ce que tu dis : permuter mais je manque sans doute de pratique parce que je ne suis arrivé à rien qui me permettre de poursuivre...

Je suis arrivé à $∑k=0n∑i=kn(k+1)2k=∑k=0n∑i=0n−k(k+1)2k\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=k}^{n}(k+1)2^k=\sum_{k=0}^{n}\sum_{i=0}^{n-k}{(k+1)2^k}$

Ah mais oui ! J'étais tout près :

= $(n+1)∑k=0n(k+1)2k−∑k=0nk(k+1)2k(n+1)\sum_{k=0}^{n}{(k+1)2^k}-\sum_{k=0}^{n}{k(k+1)2^k}$

On peut donc résoudre une équation et trouver ce qui est demandé.

Merci pour le coup de pouce !

Oui , tu y étais presque...

On obtient ainsi $(n+1)un−∑k=0nk(k+1)2k(n+1)u_n-\sum_{k=0}^{n}{k(k+1)2^k}$

Connaissant $U_n$ et la somme globale , le tour est joué !

Bonne fin de devoir !