Dérivée - changement de variable

Bonjour! On a m'a donné un exercice à faire sur les dérivées où l'on me demande d'étudier le signe de la dérivée. Le voici :
f(x)=x√x-2 / √x-1 J'ai quand même réussi à faire quelques calculs (que j'espère justes...)

u=x
u'=1
v=√x
v'=1 / 2√x
w=√x-1
w'=1 / 2√x

On a en effet la forme uxv-2 / w
On a ainsi (u'v+v'u)xw-w'(uxv-2) / w²
Après avoir remplacé les termes et développé (je n'écris pas tous mes calculs puisque c'est un peu long), j'en arrive à ce résultat :

2x√x-3x+2 / 2√x(√x-1)²

Je ne sais pas si mon résultat est juste mais c'est à ce moment là que je bloque. Je connaissais l'équation bicarrée avec X=x² donc j'ai pensé poser X=√x pour faire ensuite le delta.
Sauf que je n'arrive pas remplacer...! J'espère que vous pourrez m'aider parce que là je suis perdue...! Merci

Bonsoir Biscotte,

Ton calcul est juste.

Pour étudier le signe,
calcule la dérivée de f'(x) et étudie les variations.

D'accord merci Mais je ne comprends pas comment calculer la dérivée...! Je sais la calculer pour une fonction type ax²+bx+c mais ici je ne vois pas comment...! Dois-je poser X=√x pour calculer la dérivée?

la fonction est bien : $f(x)=xx−2x−1f(x)=\frac{x\sqrt{x}-2}{\sqrt{x}-1}$

Etudie la fonction g définie par g(x) = 2x√x -3x + 2
Calcule g'(x)= ...

Donc je dois faire la dérivée de 2x√x -3x +2 ?

g'(x) = 2x1x(1/2√x) -3x1 +0
= 2/2√x -3

C'est ça? (Désolée, l'éditeur LaTeX ne marche pas sur mon ordi!)

Non,

g'(x) = 2√x +2x/2√x -3 = 3√x - 3
= 3( ......)

Euuuh c'est bête ce que je vais demander mais je ne comprends pas quel calcul vous avez fait pour trouver 2√x +2x/2√x -3 ...!
Ca donne 3(√x -1)

g(x) = 2x√x -3x +2

la dérivée de 2x√x forme U V
soit 21√x + 2x*1/2√x

la dérivée de -3x est -3.

Aaah d'accord! C'est bon j'ai compris comment vous avez fait. Du coup ça donne

$2x+2x2x−3=2x(2x)+2x−3(2x)2x=6x−6x2x=...2\sqrt{x}+\frac{2x}{2\sqrt{x}}-3 =\frac{2\sqrt{x}(2\sqrt{x})+2x-3(2\sqrt{x})}{2\sqrt{x}} =\frac{6x-6\sqrt{x}}{2\sqrt{x}} =...$ et là je ne sais pas comment simplifier pour en arriver à 3√x-3

tu te compliques :
2x/2√x = √x

...Ah ben oui c'est tout bête...Merci!! Et après j'étudie les variations avec le tableau de variation en utilisant 3(√x-1)?

Oui étudie les variations mais aussi le signe.

Dois-je faire √x-1=0
<=> √x=1
<=> x=1 ?

Oui x = 1

J'ai trouvé que c'était négatif dans l'intervalle ]-∞;1[ et positif dans l'intervalle ]1;+∞[ mais je ne suis pas sure

donc décroissant de ]-∞;1[ et croissant à partir de 1 ...

La fonction est définie sur [0 ; +∞[
donc décroissante sur [0;1] puis croissante.
Cherche les limites de la fonction.

Merci beaucoup! donc si j'ai bien compris c'est donc négatif et décroissant sur [0;1[ et positif et croissant sur [1;+∞[

Mais je ne comprends pourquoi elle est définie à partir de 0...! Et pour les limites on ne les a pas encore vraiment vu en cours et on a fait aucun exercice dessus donc je vais me débrouiller pour essayer de comprendre comment ça marche sur mon manuel parce que je ne comprends pas le principe

aaaah mais non s'il y a une limite c'est que ce n'est pas croissant jusqu'à l'infini

non? ... je m'embrouille là :frowning2:

En fait on cherche le signe,
donc calcule g(0)
g(1)

g(x)=3(√x-1)
g(0)= 3 x -1 = -3
g(1)=0

Merci de votre patience en tout cas !

g(x) = 2x√x -3x + 2

g(0) = ....
g(1) = ...

ah oui c'était g'(x) qui valait 3(√x-1) !!!
g(0) = 2
g(1) = 2 -3 +2 = -3
Et ensuite que dois-je faire?

g(1) = 2 - 3 + 2 = 1

Donc g(x) de 2 à 1 puis de 1 à + ∞,
donc g(x) > 0

...erreur d'inattention, j'ai honte

D'accord c'est bon j'ai compris Halleluia!
Merci encore une fois pour votre patience
Bonne soirée !