suites et irrationalité de e

Salut à tous

J'ai un DM à faire pour la rentrée et j'ai tout fini sauf une question (pour ceux qui l'ont, c'est la question 4 de l'exo 144 p51 du livre si c'est le même pour tout le monde...)

Pour ceux qui l'ont pas :
Soient $u_n$ ) et $v_n$ ) deux suites adjacentes (ie: $u_n$ ) stricmt croissante et $v_n$ ) strictment décroissante et $l i m (v$ _n $u_n$ ) = 0) telles que :

∀n∈N*

$u_n$ = $∑p=0n1p!\sum_{p=0}^{n}{\frac{1}{p!}}$ et $v_n$ = $u_n$ + $1nn!\frac{1}{n n!}$

Je vous résume un peu l'exo :

Alors on a e, limite des deux suites (elle ont la même limite, je l'ai démontré) et on voit que $u_n$ et $v_n$ encadrent de plus en plus précisément la limite e ≈ 2.71828..

Maintenant la question est :
On suppose qu'il existe p ∈ N et q ∈ N* tels que e = $pq\frac{p}{q}$ . En utilisant le fait que $u_q$ < e < $v_q$ , montrer que l'on aboutit à une contradiction.

Alors je fais des calculs pour essayer de trouver la contradiction mais je retombe sur l'énoncé à chaque fois...

Pouvez vous m'aider SVP ??

merci de mettre un titre significatif et de t'exprimer correctement.*

Excusez j'ai un peu de mal avec LaTeX...

Bonsoir,

Piste,

Si j'ai bien lu , tu supposes que :

$\text{u_q \lt \frac{p}{q} \lt u_q + \frac{1}{q.q!}$

En multipliant par q

$\text{q.u_q \lt p \lt q.u_q + \frac{1}{q!}$

En multipliant par q!

$\text{q .u_q .q!\lt p.q! \lt q.u_q.q!+1$

Pense que $\text{q .u_q .q!$ et $\text{q.u_q.q!+1$ sont deux entiers consécutifs et trouve la contradiction.

Ahhhhh d'accord !!

Merci je n'avais pas multiplié par q!, je m'étais vraiment compliqué pour rien

Merci beaucoup

Euuh en fait je ne comprends pas pourquoi q. $u_q$ .q! et q. $u_q$ .q! + 1 seraient des entiers, sachant que $u_q$ n'est pas un entier et il s'approche très vite du nombre irrationnel e...

$U_q$ n'est pas un entier mais $U_{q.}$ q! est un entier et , à forciori q. $U_q$ .q!

Il faut que tu le justifies bien sûr.

$\text{q!u_q=\bigsum_{p=0}^q\frac{q!}{p!}$

Il te reste à simplifier l'expression $\text{ \frac{q!}{p!}$ pour prouver qu'il s'agit d'un entier.

En effet j'avais pas vu

Donc :

$q!uq=q!+q!+q!2+...+q!q!q!u_{q} = q! + q! + \frac{q!}{2} + ... + \frac{q!}{q!}$

Or : Soit $n$ un entier compris entre 1 et q, alors le quotient $q!n!\frac{q!}{n!}$ est un entier car :

$q!n!=n!.(n+1).(n+2)...(q)n!=(n+1).(n+2)...(q)\frac{q!}{n!} = \frac{n!.(n+1).(n+2)...(q)}{n!} = (n+1).(n+2)...(q)$ qui est un entier.

Est-ce la bonne justification ?

L'idée est bonne , mais vu les notations de l'énoncé , ce serait mieux de calculer$\text{ \frac{q!}{p!}$ au lieu de $\text{ \frac{q!}{n!}$

( Tu as peut-être fait une faute de frappe à l'avant dernière écriture , car on comprend pas trop ce qui est écrit , mais la dernière écriture est juste )

Tu peux écrire :

$\text{ \frac{q!}{p!}=\frac{1\times 2\times 3...\times p\times (p+1)\times ...\times q}{{1\times 2\times 3...\times p}}=(p+1)\times...\times q$

Oui voilà mais c'était l'idée

Ensuite je vois ce qu'il faut faire

Merci pour ton aide

De rien .

A+

Remarque :

J'espère que tu as compris le but de cette dernière question .
e ne peut pas être le quotient de deux entiers donc e n'est pas un nombre rationnel

e est un nombre irrationnel