Paraboles géogébra et démonstration

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider à faire mon exercice?
Il se compose de deux partie: "Conjecture et construction sur Géogébra" et "Démonstration".
J'ai réussie à faire toute la première partie et maintenant je bloque sur la deuxième.
L'énoncé est:

Le plan est rapporté à un repère orthonormal (O;i;j).
Pour tout réel m, on considère la parabole Pm d'équation y=x²-2(m+1)x+4(m+1).

A.Construction de la figure et conjecture avec Géogébra

1.Déterminer les équations P0 et P1 et les construire sur Géogébra.
2.Construire et lire les coordonnées du point A, intersection de P0 et P1.
3.Créer un curseur m (variant de -10 à 10) puis tracer la parabole Pm.
4.Faire varier m, que remarque-t-on?
5.Selon les valeurs de m, le nombre de points d'intersection de Pm avec l'axe (Ox) varie. Expliquer comment selon les valeurs de m. Préciser dans chacun des cas la position de ces points par rapport à O, sur l'axe(Ox).
6.Construire le sommet Sm de la parabole Pm.
7.Activer la trace du point Sm.
8.Faire varier le curseur m. Que constate-t-on?
9.Les points Sm, lorsque m varie, semblent décrire une T d'équation y=ax²+bx+c où a,b et c sont des réels. Déterminer a,b et c.
10.Construire la parabole trouvée à la question précédente et vérifier alors que Sm appartient bien à T lorsque m varie.

B.Démonstration

1.Déterminer les coordonnées de A.
2.Démontrer la conjecture faite à la question A4.
3.Déterminer selon les valeurs de m le nombre de points d'intersection de Pm avec l'axe (Ox) et leur position par rapport à O (dans cette question, m est un réel quelconque).
4.Déterminer les coordonnées de Sm.
.Déterminer l'équation de la parabole T décrite par les points Sm lorsque m varie dans R.

Voila, je bloque à partir de la question 2B pouvez-vous m'aidez?
Quelle conjecture devrait-je trouver? Tout ce que j'ai pu observer c'est que: Lorsque m varie, on remarque que la courbe varie tout en restant sur le point d'intersection.
Merci de votre aide. BoobbyK

Bonjour,

Pour la 1) , tu as donc résolu x²-2x+4=y=x²-4x+8 et tu as trouvé x = 2 donc y = 4

Pour la 2) , Il faut montrer que toutes les paraboles $P_m$ pasent par A

Il faut donc montrer que pour tout m on a bien

2²-2(m+1)*2+4(m+1) = 4

A toi de le faire

Pour la 3) , résoudre x²-2(m+1)x+4(m+1) = 0 en discutant selon les valeurs de m

Tout d'abord merci pour votre réponse!

Ensuite pour la 2) j'ai trouvé que l'équation est égale à 0 mais je comprend pas comment je peux expliquer que toutes les paraboles passent par A? Cela suffit-il à l'expliquer?

Puis pour la 3) pour la valeur de m je prend deux valeurs de m au hasard puis je résous l'équation?

Merci pour vos réponse et votre patience. BoobbyK

Si pour tout m on a bien , 2²-2(m+1)*2+4(m+1) = 4

Alors pour tout m, le point A(2;4) vérifie

y = x² - 2(m+1)x + 4(m+1)

Donc A appartient à toute les courbes $P_m$

Pour la 3) tu gardes m quelconque. Tu calcules le discriminant. Et tu discutes du signe du discriminant en fonction des valeurs de m

D'accord, je vois, merci.

Mais pour la question 4), pour calculer un sommet il faut d'abord trouver les coefficients a et b puis appliquer la formule -b/2a (axe des abscisses) et enfin calculer l'image de l’abscisse trouvée, non?

Dans notre cas, que sont a et b?

Merci pour vos réponses et votre patience. BoobbyK

Bonjour,
C'est bon j'ai trouvé a et b (a=1 et b=-2(m+1)
Donc ça nous donne:

-b/2a=2(m+1)/2=m+1
Donc
f(m+1)=(m+1)²-2(m+1)(m+1)+4(m+1)
.....
=-m²+3

Alors j'ai pris un exemple pour vérifier:
Si m=2
Graphiquement j'ai Sm(3;3)
Ac le calcul je trouve
-b/2a=6/2=3
Donc m+1=2+1=3
C'est dc vérifié
Par contre pour f(3)
f(3)=3
Or -m²+3=-(2)²+3=-1
Or -1≠3
Je ne trouve pas mon erreur, pouvez-vous m'aidez?

En effet erreur de calcul dans

f(m+1) = (m+1)²-2(m+1)(m+1)+4(m+1) = -m²+3 ....

Car

(m+1)² - 2(m+1)² + 4(m+1) = (m+1) ( .............)

Je te laisse faire le bon calcul !

Ah oui!
J'ai développé au lieu de factorisé donc f(m+1)=(m+1)(-m+3)!

Et maintenant je fais comment pour trouver l'équation de la parabole?
Je sais qu'il y a une histoire avec 3 équations mais je ne sais pas comment on les trouves, pouvez-vous m'aidez?

En fait, pour voir l'expression de la parabole sur laquelle les $S_m$ se déplacent, il et préférable de partir de

f(m+1) = (m+1)² - 2(m+1)² + 4(m+1)
Soit
f(m+1) = -(m+1)² + 4(m+1)

Soit f(x) = -x² + 4x

Merci pour tout!

Vous m'avez vraiment aidé sans vous je n'y serais jamais arrivée!