Demi-cercle , fonction


  • L

    Bonjour, j'ai un dm à rendre et je suis bloquée sur les deux dernières questions la c) et la d), pourriez-vous m'aidez s'il vous plait? voici l'énoncé:
    1.a) Résoudre dans R l'inéquation 1-x²≥0.
    b) f est la fonction définie sur l'intervalle [-1;1] par: f(x)=√(1-x²)
    tracer a l'écran de la calculatrice la courbe représentative de la fonction f.

    c) Démontrer que dans un repère orthonormé, la courbe représentative de f est le demi-cercle de centre l'origine du repère et de rayon 1.
    2.d) A partir de la définition explicite de f(x), déterminer le sens de variation de f sur [-1;1].

    je vous dis merci d 'avance et j 'espère que vous pouvez m'aider!


  • M

    Bonjour,
    Un point de la courbe est un point M(x;y) tel que y = f(x) = √(1-x²).
    Calcule y².


  • L

    je ne comprend pas pourquoi il faut calculer y² et pas y tout court ?:/


  • M

    Pour répondre à la question c), tu as besoin de connaître y².
    Tu sais quelle forme a l'équation d'un cercle ?


  • L

    x²-y²?

    et pour la d)?


  • M

    Chaque chose en son temps.
    x² - y² n'est pas l'équation de quoi que ce soit.
    L'équation d'un cercle est de la forme x² + y² + ax + by + c = 0

    Je ne peux pas t'aider davantage si, à partir de y = √(1-x²), tu ne calcules pas y² comme je te l'ai demandé.


  • C

    C quoi la suite


  • mtschoon

    @Claire01 , bonjour,

    Ici, la politesse n'est pas une option...
    Y penser une autre fois.
    Je te mets les consignes avant de poster:
    https://forum.mathforu.com/topic/1378/stop-lire-ce-sujet-tu-devras-avant-de-poster-ton-message

    @Claire01 a dit dans Demi-cercle , fonction :

    C quoi la suite

    J'essaie de t'indiquer la démarche.

    c) Pour x∈[−1,1]x\in[-1,1]x[1,1], f(x)=1−x2f(x)=\sqrt{1-x^2}f(x)=1x2
    Soit y=f(x)y=f(x)y=f(x)
    Nécessairement y≥0\boxed{y\ge 0}y0
    Par élévation au carré :
    y=1−x2y=\sqrt{1-x^2}y=1x2 <=>y2=1−x2y^2=1-x^2y2=1x2 <=> x2+y2=1x^2+y^2=1x2+y2=1
    On peut écrire $
    (x−0)2+(y−0)2=12(x-0)^2+(y-0)^2=1^2(x0)2+(y0)2=12
    L'équation d'un cercle de centre I(a,b) et de rayon R est
    (x−a)2+(y−b)2=R2(x-a)^2+(y-b)^2=R^2(xa)2+(yb)2=R2
    Il est donc question du cercle de centre O(0,0)O(0,0)O(0,0) et de rayon R=1R=1R=1

    Comme on a la condition y≥0y\ge 0y0, il s'agit du demi-cercle de centre O(0,0)O(0,0)O(0,0) et de rayon R=1R=1R=1 situé dans le demi plan au dessus de l'axes des abscisses.
    demi-cercle.jpg


  • mtschoon

    @Claire01

    Pour le d) bien-sûr, le sens de varaition se "vois" en regardant le demi-cercle, mais il est demandé de le trouver à partir de la définition explicite de f(x)

    f(x)=1−x2f(x)=\sqrt{1-x^2}f(x)=1x2

    Dérivée : f′(x)=−2x21−x2=−x1−x2f'(x)=\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\dfrac{-x}{\sqrt{1-x^2}}f(x)=21x22x=1x2x

    fff est dérivable sur ]−1,1[]-1,1[]1,1[ et son signe est le signe de −x-xx

    Pour x<0x\lt 0x<0, −x>0-x\gt 0x>0 donc f′(x)>0f'(x)\gt 0f(x)>0 donc f strictement croissante
    Pour x>0x\gt 0x>0, −x<0-x\lt 0x<0 donc f′(x)<0f'(x)\lt 0f(x)<0 donc f strictement décroissante
    Pour x=0x=0x=0, −x=0-x=0x=0, f′(x)=0f'(x)=0f(x)=0 f admet un maximum (qui vaut 1)


  • mtschoon

    Tableau de variations , pour plus de clarté.

    tableaubisbisbis.jpg

    Bonne lecture.


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