Nombres Complexes (points invariants)

Bonjour/Bonsoir ! J'ai un DM a réaliser mais je suis bloqué :

Le plan complexe est muni du repère orthonormal direct (O,u,v) d'unité bien choisie. soit N le point d'affixe -5.
Soit f la fonction qui a tout point M d'affixe z, avec M ≠ N, fait correspondre le point M' d'affixe z', où z'= $z−4+4iz+5\frac{z-4+4i}{z+5}$

On fera un dessin que l'on complètera selon l'inspiration. ( lol )

PARTIE A : recherche des points invariants de f.
On rappelle que M est un point invariant si et seulement si f(M)=M

1°- Calculer ( $s q r t$ 2+i $s q r t$ 2 )²
2°- Montrer que M est un point invariant de f si et seulement si (z+2)² -4i=0
3°- Déduire des questions précédentes les points invariants de f, que l'on appellera A et B.
4°- Soit C le point d'affixe -2- $s q r t$ 6+i $s q r t$ 6 . Quelle est la nature du triangle ABC ?
5°- Déterminer l'affixe du point D tel que ABCD soit un parallèlogramme.

La question 1°- ne m'a pas posé de problème : ( $s q r t$ 2+i $s q r t$ 2 ) = 4i
Mon problème se pose sur la question 2°- et plus particulièrement sur le fait que je doit utiliser (z+2)² -4i=0 . Sans cela j'aurai utilisé z=z' mais là on m'impose cette équation qui je l'avoue me perturbe.

Voilà merci à ceux qui prendront la peine de réfléchir à mon problème et a essayer de le résoudre

*Modif de Zorro ajout de ² dans la première question qui restait incompréhensible sans ² *

Bonjour,

résoudre z' = z revient à résoudre z - 4 + 4i = z(z+5)

équivalent à z - 4 + 4i = z² + 5z

équivalent à z² + 5z -z + 4 = 4i

soit ce qu'il faut bien trouver !

J'ai bien réussi à trouver cela sur mon brouillon mais je vois pas comment utiliser le (z+2)² -4i=0 pour répondre à la question ...

Calcule (1 + i)² et regarde ce que tu trouves

J'obtiens 2i mais je vois pas où vous voulez en venir.

(1 + i)² = 2i

Donc pour trouver les solutions de (z+2)² -4i=0

Il faut résoudre (z+2)² = 4i

Soit Z² = (...)² avec Z = z+2

Or (1 + i)² = 2i , donc 4i pourrait être le carré de quoi ?

Pour le coup, 4i pourrait être égal à (2 $s q r t$ i)² ou même ( $s q r t$ 2+i $s q r t$ 2)² cf question 1°-

et donc je montre que M est un point invariant !

Pour la suite, A et B sont donc 2 autres points, j'imagine que l'un d'entre eux est le résultat de la question 1°- mais qu'en est il de l'autre ?

Non !

(1 + i)² = 2i

donc

[√2*(1 + i)]² = .....

D'accord [√2*(1 + i)]² = 4i mais si je résoud (z+2)² = 4i j'obtiens (2 $s q r t$ i)²=4i

Que ferais-je du [√2*(1 + i)]² ?

Wowowowow Autant pour moi je viens de comprendre le lien entre la question 1 et 2 donc oui ( $s q r t$ 2+i $s q r t$ 2)²=4i