DM sur les dérivations à rendre pour la rentrée.



  • Bonjour.
    J'ai un petit problème avec des exercices de mathématiques et je coince sur ces deux exercices.

    Exercice I:
    Soit f une fonction définie et dérivable sur R.

    1)Démontrer que si f est paire, alors f' est impaire.
    2)Démontrer que si f est impaire, alors f' est paire.
    3)Démontrer que si f est périodique de période T, alors f' est périodique de période T.

    Exercice II:

    Déterminer la limite, quand x tend vers 0, de sinx/x et de (cosx-1)/x en écrivant chaque rapport comme un taux d'accroissement entre certain réel x0 et x.

    Par avance merci de votre aide.



  • Salut.
    Je fais seulement une question.

    Ex I
    Question 1

    Le taux de variation de la fonction f en a est
    TaT_a(h) = (f(a+h) - f(a))/h.
    On sait que f '(a) = $lim_{h->0}$ TaT_a(h).

    Or, le taux de variation de f en -x est
    TxT_{-x}(h) = (f(-x+h) - f(-x))/h.
    On sait que l'on a
    f '(-x) = $lim_{h->0}$ TxT_{-x}(h). (1)
    Or, on a aussi TxT_{-x}(h) = (f(x-h)-f(x))/h, puisque f est paire.
    En posant k = -h, on a
    TxT_{-x}(h) = - (f(x+k) - f(x))/k = Tx-T_x(k).
    Et h tend vers 0 en même temps que k.
    On a $lim_{k->0}$ Tx-T_x(k) = - f '(x). (2)

    Par comparaison de (1) et (2), on a bien f '(-x) = -f '(x), ce qui montre que f ' est impaire lorsque f est paire.



  • Merci beaucoup, je vais étudier ça et je vous direz si j'ai réussi.
    Encore merci.



  • Voici pour l'exercice II.

    Pour sin x / x, il faut écrire
    sin x / x = (sin x - sin 0) / (x - 0)
    de façon à faire apparaître le nombre dérivé de t -> sin t en 0 (c'est ... cos 0).


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