Exercice sur les valeurs absolues

Bonjour, j'ai du mal a faire mon exercice de mathématiques; pouvez vous m'aider s'il vous plait ?
Il faut que je donne les ensembles de solutions des équations et inéquations suivantes :

|x|>2
|x|=|3x-1|
|x+2|≥2x-1
|x²+1|=4

Voilà ce que j'ai fais, je ne suis pas sûr :

x=-2 ou x=2
donc S = ]-∞;-2[u]2;+∞[

Je ne comprends pas très bien comment on peut calculer une équation de deux valeurs absolues.

|x+2|= x-2
si x>2
donc x-2=2x-1
x-2x=1
-x=1
x=-1

ou |x+2|= -x+2
si x<2
donc -x+2=2x-1
-x-2x=-1-2
-3x=-3
x=1

Donc S=]-∞;-1[u]1;+∞[

Je ne comprends pas comment on peut faire avec uns valeur absolue comportant un x²

Pouvez vous m'expliquer comment faire aux questions 2) et 4) et me dire si les questions 1)et 3) sont justes, s'il vous plait.

Bonjour,

Pistes,

Pour la 1) , ta réponse est bonne mais ton explication est incomplète car tu expliques |x|=2 et non |x| > 2

Par exemple , tu décomposes en deux cas :

1er cas x ≥ 0 donc |x|=x

l'inéquation s'écrit x > 2

2eme cas x ≤ 0 donc |x|=-x

l'inéquation s'écrit -x >2 <=> x < -2

d'où ta réponse.

Pour la 2) , tu peux éviter de faire plusieurs cas en élevant au carré

Tu dois savoir ( ou tu prouves ) que , pour tout A réel : |A|²=A²

|x|=|3x-1| <=> |x|²=|3x-1|² <=> x²=(3x-1)²

Tu obtiendras ainsi une équation du seconde degré à résoudre.

Pour la 3) , je vois des erreurs de signe et tu ne résous pas d'inéquation.

Pour la 4) , si ton énoncé est exact , c'est la plus simple

Pour tout x réel , x²+1 est positif donc |x²+1|=x²+1 l'équation s'écrit :
x²+1=4

Ah oui d'accord j'ai compris, merci beaucoup!

Enfaite pour la 3) je ne vois pas comment on peut faire...
Pouvez vous me donner la méthode s'il vous plait

Pour la 3) , tu étudies deux cas : x+2 ≥ 0 et x+2 ≤ 0

1er cas: x+2 ≥ 0 <=> x ≥ -2 <=> x ∈ [-2,+∞[

Dans ce cas , |x+2| =x+2

L'équation s'écrit x+2 ≥ 2x-1

Tu dois trouverx ≤ 3

L'ensemble S1 des solutions trouvées dans ce 1er cas sera l'ensemble des réels supérieurs à -2 et inférieurs à 3 :

S1=[-2,3]

2eme cas : x+2 ≤ 0 <=> x ≤ -2 <=> x ∈ ]-∞,-2]

Dans ce cas , |x+2| =-(x+2)=-x-2

L'équation s'écrit -x-2 ≥ 2x-1

Tu raisonnes comme dans le premier cas et tu trouveras l'ensemble S2des solutions.

L'ensemble S des solutions ( dans R ) sera S=S1 U S2