fonction f(x+y)=f(x)+f(y)

Bonjour !

J'ai un exercice qui me pose beaucoup de problèmes sachant que je ne comprends même pas l'énoncé...

Le voici :

Déterminer toutes les fonctions f : ℜ → ℜ bornées au voisinage de zéro telles que

∀x,y∈ℜ , f(x+y) = f(x) + f(y)

Si vous pouviez me donnez une piste ou même m'expliquer plus clairement l'énoncé, ça serai sympa

Merci

Bonsoir ,

Piste,

Tu peux commencer par prouver que f(0)=0

En effet : f(0+0)=f(0)+f(0) donc f(0)=2f(0) donc .............

Ensuite , si f est dérivable , en dérivant l'égalité f(x+y)=f(x)+f(y) par rapport à la variable x

f' $_x$ (x+y)=f'(x)

( j'ai mis x en indice pour bien préciser que l'on dérive par rapport à x ; le mieux serait d'utiliser la notation différentielle , mais je ne sais pas si tu connais )

Tu peux déduire que f' est constante : f'(x)=a

Donc f(x)=ax+b

Comme tu sais que f(0)=0 , tu peux trouver b

Merci beaucoup, je viens de tout comprendre
Par contre au passage de f'(x)=a à f(x)=ax+b, je suis pas censé connaître ça (même si c'est logique) mais ce n'est pas ce qu'on appelle primitive ?

Effectivement , c'est ce qu'on appelle une primitive.

Su tu ne connais pas encore , parle de dérivée...du genre" les fonctions f dont la dérivée est a sont telles que f(x)=ax+b "

( et j'espère que tu as trouvé b=0 )

Bonjour Mtschoon,
Je place ici mon texte initialement envoyé en M.P., car j'ai le message ; "vous n'êtes pas autorisé à effectuer cette opération" ?!

Bonjour, Mtschoon,
Quelque chose m'échappe dans le sujet de BaB² : f(x+y) = f(x) + f(y).
Il n'est pas donné dans l'énoncé que f soit dérivable (pas même continue).
Il s'agit d'une équation de Cauchy, facile à définir sur Q, mais pas sur R (pas pour moi).
Ainsi, je ne vois pas comment le fait qu'elle soit bornée au voisinage de 0 fait qu'elle est continue en 0.
Peux-tu m'éclairer sur ce point si tu en as le temps ?
Merci d'avance et bonne journée.
Mathtous.

Bonjour Mathtous,

J'ai trouvé , comme toi , que l'énoncé écrit manque de précision et est ambigû .
Je n'ai aucune explication pour le légitimer!
Je pense (?) que la dérivabilité de f a été indiquée dans l'énoncé donné par le professeur ( je l'espère...) , mais les demandeurs font parfois des raccourcis...sans y voir malice.

Personnellement , en Terminale S , j'aurai donné un énoncé du type :

*f dérivable sur R , telle que pour tout couple (x,y) de R² f(x+y)=f(x)+f(y)

calculer f(0)
déterminer toutes les fonctions f satisfaisant l'hypothèse.*

Sur la toile , on trouve de nombreux articles sur cette célèbre équation fonctionnelle de Cauchy , mais non dans le cadre de Terminale !

Eh bien en fait si malheureusement, j'ai demandé à mon prof si f était dérivable et il m'a répondu qu'on ne savait pas, donc on ne pouvait la dérivée...

Et il m'a dit de d'abord travailler sur les entiers (naturels, puis négatifs) ensuite sur les rationnels, et puis après je n'arrivait plus à comprendre --'

BaB² , si l'énoncé que tu as écrit est complet , si tu n'as pas d'hypothèse de dérivabilité ni de continuité (* seulement une "bornature" au voisinage de 0 *) ,ça change tout! ! !

Dans ce cas , c'est très bizarre cet exercice en Terminale S ...
Je dirais que c'est un exercice de Bac +1 , ou bien tu n'es pas en France , ou bien tu es dans une SUPER classe de Terminale S ou bien ..?...?

*Peut-être que tu nous donneras des indications , et éventuellement , nous déplacerons le sujet *

Quelques pistes possibles pour démontrer , dans les conditions données, quef(x)=ax pour tout x réel

Tu suis l'ordre indiqué par ton professeur.

Tu démontres d'abord la propriété pourx naturel : x =n , avec n ∈ N

f(1+1)=f(1)+f(1) donc f(2)=2f(1)
f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(3)=2f(1)+f(1)=3f(1)

Tu conjectures que f(n)=nf(1) pour tout n naturel

Par récurrence sur n , tu prouves que f(n)=nf(1) pour tout n de N

En posant $a=f(1)\fbox{a=f(1)}$ , tu obtiensf(n)=an pour n ∈ N

Tu démontres ensuite la propriété pour x entier négatif : x =-n , avec n ∈ N
Par exemple :

f(-n+n)=f(-n)+f(n)=f(0)=0 donc donc f(-n)=-f(n)=..................

Tu déduis la propriété pour x rationnel : $x=pqx=\frac{p}{q}$ avec p et q entiers et q non nul

Par exemple :

$f(p)=f(q×pq)=q×f(pq)f(p)=f(q\times \frac{p}{q})=q\times f(\frac{p}{q})$

donc : $\frac{p}{q})=...................................$

Tu démontres enfin la propriété f(x)=ax pour tout x réel.

Pour passer de Q à R , avec seulement l'hypothèse de "f bornée au voisinage de 0 "c'est beaucoup plus délicat !

Une idée ( il y en a certaines d'autres ) :

Soit x un réel

Tu peux prouver que "f bornée au voisinage de 0" implique" f bornée au voisinage de x" , donc f bornée sur R .

Ensuite , tu peux utiliser le fait que tout nombre réel x est la limite d'une suite croissante $a_n$ ) de rationnels et d'une suite décroissante $b_n$ ) rationnels ( $a_n$ ≤ x ≤ $b_n$ ) et par encadrement et passage à la limite , tu dois obtenir le résultat .

( mais... on s'éloigne vraiment du programme de Terminale ...)

Bon courage !

Merci beaucoup pour cette explication qui m'a éclaircit l'esprit
(même si j'ai déjà rendu mon DM)
J'avais commencé à chercher sur le sujet et j'ai fais l'étude sur N et Z mais après, le temps manquait ...
Et non, je suis simplement en Terminale S, mais notre prof est un passionné de maths (si je ne puis dire FOU !! ) et nous pose souvent des exos en bonus comme celui-ci
Il nous a donné une explication similaire en Complément Prépa
En tout cas, encore merci et a + (sans doute pour le prochain DM )

Si cet exercice est un "bonus" , je comprends mieux !

Tu dis "Complément Prépa" ! en bref , ton professeur prépare ses élèves à la Prépa .
Si ( et seulement si...) le niveau des élèves le permet , c'est très bien pour eux.

Tu es en somme dans une Terminale S "Prépa-Prépa" .

Merci de l'avoir expliqué .

A+

@mtschoon est ce que vous pouvez expliquer pourquoi f'(x) = a en fait comment on sait que c'est une constante?

@Loubna-Errahmouni , bonsoir,

En supposant que f est dérivable, en dérivant par rapport à x : f'(x+y)=f'(x)
Vu que cette égalité est quelle que soit la valeur de y , f' est constante.

Bonjour @mtschoon . J’ai un exercice du meme style mais le prof nous demande de le démontrer autrement, pourriez-vous m’aider svp?

Voici l’énoncé :

On cherche à déterminer l'ensemble des fonctions f : R —>R dérivables telles que :

Pour tout (x, y) appartenant à R ^ 2
f(x + y) = f(x) + f(y)

Soit y appartenant à R et soit f : R —> R dérivable. Justifier que la fonction g:x —>f(x + y) définie sur R, est dérivable, et déterminer sa dérivée.
On suppose qu'il existe une fonction f solution du problème initial. Déduire de la question précédente que: pour tout y appartenant à R. f’(y) =f’(0). puis en déduire la forme de f.
En raisonnant par analyse-synthèse, conclure.
Déterminer de la même manière l'ensemble des fonctions f : R —> R dérivables telles que :

Pour tout (x, y) appartenant à R ^ 2 , f(x + y) = f(x) * f(y)

Merci d’avance

@MN11 , bonjour,

L'exercice de départ, de 2013, est fort long, la démarche que tu demandes ici est différente, l'exercice est différent vu qu'il ne concerne pas l'équation fonctionnelle f(x + y) = f(x) * f(y)

C'est mieux de changer de topic.
Je te conseille d'ouvrir ta propre discussion pour ton exercice.

@mtschoon j'ai compris mercii ! Une autre question pourquoi on a commencé par vérifier que f(0)=0
A quoi ça sert exactement

@MN11 ,

Dans cet exercice de @BaB², il a été démontré que la fonction $f^{'}$ était constante.
En appelant $a$ cette constante, on peux écrire : $f^{'} (x) = a$

$f$ est une primitive de $f^{'}$

on peut écrire: $f (x) = a x + b$

pour $x = 0$ : $f (0) = a 0 + b = b$

Vu que $f(0)=0\boxed{f(0)=0}$ , on obtient $b = 0$ donc $f(x)=ax\boxed{f(x)=ax}$