calcul de primitives avec racine carrée



  • bonjour a tous, j ai un exercice sur les primitives qui me fatigue .
    il s agit de trouver les primitives des fonctions suivantes
    f(x)=11x2f(x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}

    g(x)=11+x2g(x) = \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}

    h(x) = 1/[ (x-2)^2√(x^2 + 2x + 2)]
    je ne vois pas pour le moment la maniere dont je dois proceder pour resoudre ces problemes; j ai besoin de pistes


  • Modérateurs

    Salut pierresimpore,

    Pour les deux premières, tu devrais regarder du côté des dérivées usuelles de cours, notamment les fonctions trigonométriques et hyperboliques.

    Pour h, ton expression est bien celle-ci ?
    1(x2)2x2+2x+2\frac{1}{(x-2)^{2}\sqrt{x^{2} + 2x +2}}



  • Bonjour, desolé pour le retard
    oui pour les deux premiere il s'agit de arcsin(x) et Argsh(x).
    il s'agit bien de la fonction de la fonction que vous avez ecrite


  • Modérateurs

    Salut pierresimpore,

    La dernière est un peu plus compliquée effectivement...
    Je te conseille de commencer par un changement de variable u=1/(x-2), ça ne résoudra pas mais ça amènera à une expression plus facile à intégrer... (mais il restera un peu de travail...).

    Dis-nous comment tu t'en sors !



  • ok, voici ce que j'ai obtenu en posant
    u = 1/(x-2)
    j'aurai d'abord u²/√(1/u²+3/u+10) * -1/u² d(u)
    ce qui me donnera par la suite en rendant au meme denominateur et en simplifiant
    -u²/√(3u³+u²+10) d(u)
    j'aimerais que vous verifiez ce que j'ai fait avant de continuer


  • Modérateurs

    Alors pour ta première expression, je suis presque d'accord, mais je trouve un coefficient 6 devant le 1/u :
    u²/√(1/u²+6/u+10) * -1/u² d(u)

    Pour la deuxième expression, je ne suis pas d'accord, tu n'as pas multiplié le 10 par u4u^4...
    Ce serait aussi, plus intéressant de simplifier un u, avant de développer l'autre dans la racine. Cela permettrait d'avoir un trinôme simple dans la racine et un numérateur de plus faible degré.
    La prochaine étape sera de trouver un changement de variable affine pour que ce qu'il y a dans la parenthèse soit de la forme A(1+t²) avec A une constante et t la variable introduite.



  • Bonjour, vous avez raison j'ai fait une erreur lors du calcul. Je trouve maintenant -U/rac[6U^3 +10U^2 + 1] d(U) Concernant le changement de variable je n'ai rien trouvé pour le moment...



  • Bonjour, est ce que quelqu'un pourait m'aider à terminer mon exercice?


  • Modérateurs

    Re-salut,

    Je n'ai pas encore le même résultat que toi, j'aurai plutôt du :
    u10u2+6u+1\frac{-u}{\sqrt{10u^2+6u+1}}

    Du coup, pour la prochaine étape, il faudrait faire un deuxième changement de variable (c'est le dernier promis !) pour transformer le 10u²+6u+1 en quelque chose de la forme : A(t² + 1) avec t de la forme t = λu+β (Ce que tu peux faire par identification !).


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Je ne fais que passer...comme pierresimpore redemandait de l'aide , j'ai regardé le topic.

    Il semble qu'il y ait eu un u4u^4 malencontreux , car en fait u² et 1/u² se simplifient.

    Je trouve comme toi kanial , mais pour u positif seulement.

    Dans mon calcul , sauf erreur de ma part , il y a un u2\sqrt{u^2} qui peut être remplacé par u|u|

    Donc : $\bigint \frac{-|u|}{\sqrt{10u^2+6u+1}$

    pierresimpore doit faire le cas u positif ( c'est à dire x > 2 ) et le cas u négatif ( c'est à dire x < 2 )

    Evidemment , lorsqu'on a fait un cas , l'autre est "évident" !

    Bon courage (* c'est lourd mais ça se fait *) !


  • Modérateurs

    Je plussoie 😉 j'avais laissé passer ça :rolling_eyes: ...


  • Modérateurs

    Aucune importance , Kanial !

    L'essentiel , c'est que pierresimpore ne laisse pas passer .

    Bonne soirée !



  • Ok, merci à vous deux, j'ai repris mes calculs et je trouve cette fois ci la meme expression que vous.
    C'est un exo trop bizare, si je prend le cas ou U >0 alors on aura
    -U / Rac(10U^2 + 6U +1) pour obtenir la forme que vous m'avez demandez j'ai preferé passer par la forme canonique ( j'espere qu'on obtiendra les meme resultats) ainsi je trouve

    • U dU / Rac[ 10(U+3/10)^2 + 1/10 ] en prenant 1/10 en facteur on obtiendra
    • U dU / Rac[ 1/10 [( 10U +3)^2 + 1 ] ]
      Si je pose t = 10U + 3 , on obtient
      -1/100 * (t -3)dt / Rac[ 1/10( t^2 + 1) ]
      C'est ce que je trouve.

  • Modérateurs

    Oui, ta méthode fonctionne aussi, pas de soucis.
    Par contre, je ne comprends pas d'où sort ton coefficient 1/100 à la fin (pour moi c'est 1/10), sinon je suis d'accord avec tes calculs. Il te reste à faire le cas u < 0.

    Et pour la suite, je te propose de sortir le 1/10 de la racine et de couper la fraction en deux parties : la partie avec du t au numérateur et la partie avec de la constante au numérateur. Pour la première partie, tu pourras trouver une primitive en pensant à la fonction racine carrée ; pour la deuxième partie, tu peux t'inspirer de la fonction g de ton exercice !



  • Je trouve toujour 1/100. Est ce que vous avez remplacez le dU ?
    Parce que si je pose
    t = 10U + 3 alors
    U = 1/10( t- 3) et
    dt = 10 dU Ce qui nous donne au numerateur
    -1/10 (t-3) * 1/10 dt ce qui fait -1/100 (t-3) dt


  • Modérateurs

    Oui, désolé, j'ai répondu un peu vite (décidément...). Du coup, ton calcul est juste du coup ! Tiens-nous au courant pour la suite !



  • Ok, les resultats tombent, pour U positif on aura
    1/100 [ sqrtsqrtt^2 +1) - 3argsh(t) ]
    Pour U negatif on obtient
    1/100 [ 3argsh(t) - sqrtsqrtt^2 + 1) ] avec les differents changement de variable, on peut remonter jusqu'a x .
    Merci beaucoup pour votre aide.
    S'il vous plait , j'aimerais vous demandez s'il ya une primitive usuelle pour la fonction
    g(x) = 1/( x^2 + 1 )^2 merci


  • Modérateurs

    Un nouveau petit passage pour ta dernière intégrale.

    Un idée possible ( il doit y avoir d'autres , mais c'est la première idée qui me vient à l'esprit )

    $\tex{\bigint \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\bigint \frac{1+x^2-x^2}{(1+x^2)^2}dx$

    $\tex{\bigint \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\bigint \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} dx-\bigint \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx$

    $\tex{\bigint \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\bigint \frac{1}{1+x^2} dx-\bigint \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx$

    Pour la première intégrale : c'est usuel

    Pour la seconde , une IPP convient, en décomposant :

    $\tex{\bigint \frac{x^2}{(1+x^2)^2}dx=\bigint \frac{x}{(1+x^2)^2 }\times x dx$

    Après les calculs faits , sauf erreur , tu dois trouver :

    $\tex{\bigint \frac{1}{(1+x^2)^2}dx=\frac{1}{2}arctanx+\frac{x}{2(1+x^2)}$



  • Bonjour, en faisant l'integration par partie je trouve la meme chose que vous. Merci à vous pour votre aide. A bientot


  • Modérateurs

    Kanial ( et moi ) t'avons aidé avec plaisir !

    A+


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