Montrer que deux événements A et B barre sont indépendants


  • D

    Bonjour

    Énoncé:
    On considere E un univers et A,B deux evenements de E qui sont indépendants

    Montrer que A et B barre sont indépendant

    Merci


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je suppose que tu sais que

    a‾∩b‾=aub‾\overline a \cap \overline b=\overline {a u b}ab=aub

    (Sinon , il faut le prouver )

    Piste,

    p(a‾∩b‾)=p(aub‾)=1−p(aub)p(\overline a \cap \overline b)=p(\overline {a u b})=1-p(a u b)p(ab)=p(aub)=1p(aub)

    p(a‾∩b‾)=1−[p(a)+p(b)−p((a∩b)]p(\overline a \cap \overline b)=1-[p(a)+p(b)-p((a \cap b)]p(ab)=1[p(a)+p(b)p((ab)]

    p(a‾∩b‾)=1−p(a)−p(b)+p(a∩b)p(\overline a \cap \overline b)=1-p(a)-p(b)+p(a \cap b)p(ab)=1p(a)p(b)+p(ab)

    Tu remplacesp(a∩b)p(a \cap b)p(ab) par p(a)×p(b)p(a)\times p(b)p(a)×p(b)

    En factorisant , tu dois arriver à (1−p(a))×(1−p(b))(1-p(a))\times (1-p(b))(1p(a))×(1p(b)) c'est à dire à p(a‾)×p(b‾)p(\overline a)\times p(\overline b)p(a)×p(b)

    Bon calcul.


  • D

    Pardon je m'en suis mal exprimer il n'y a que B qui sous la forme B barre


  • mtschoon

    Donc, reprenons...............

    a=(a∩b)∪(a∩b‾)a=(a \cap b) \cup (a\cap \overline b)a=(ab)(ab)

    a∩ba \cap bab et a∩b‾a \cap \overline bab sont disjoints

    Donc

    p(a)=p(a∩b)+p(a∩b‾)p(a)=p(a \cap b) +p (a\cap \overline b)p(a)=p(ab)+p(ab)

    Donc en transposant :

    p(a∩b‾)=p(a)−p(a∩b)=p(a)−p(a)×p(b)p (a\cap \overline b)=p(a)-p(a \cap b)=p(a)-p(a)\times p(b)p(ab)=p(a)p(ab)=p(a)p(a)×p(b)

    Tu mets p(A) en facteur et au final , tu trouveras p(a)×p(b‾)p(a)\times p(\overline b)p(a)×p(b)


  • Jewel HADDAD

    @mtschoon Bonjour, je n'ai pas compris comment vous aviez trouvé : que
    a barre ∩ b barre= a barre U b barre (ligne 1 de votre calcul)

    et puis comment est ce que :
    1 - p(a) - p(b) + p(a) x p(b)
    = ( 1- p(a) ) x ( 1 - p(b) )

    y a t-il une regle que je ne connais pas?


  • mtschoon

    @Jewel-HADDAD , bonjour,
    Pour la première ligne du calcul, il s'agit d'une loi de Morgan que tu peux facilement réaliser avec un schéma.
    Je te mets un lien :
    https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./m/morgan.html

    Pour ta seconde qustion, il s'agit d'une factorisation :

    1−p(a)−p(b)+p(a)p(b)=(1−p(a))−p(b)(1−p(a))1-p(a)-p(b)+p(a)p(b)=\biggr(1-p(a)\biggr)-p(b)\biggr(1-p(a)\biggr)1p(a)p(b)+p(a)p(b)=(1p(a))p(b)(1p(a))

    En mettant (1−p(a))(1-p(a))(1p(a)) en facteur, on trouve :

    1−p(a)−p(b)+p(a)p(b)=(1−p(a)(1−p(b)1-p(a)-p(b)+p(a)p(b)=(1-p(a)(1-p(b)1p(a)p(b)+p(a)p(b)=(1p(a)(1p(b)


  • Jewel HADDAD

    Merci beacoup pour votre aide, je voulais aussi savoir si deux evenements sont independants et on souhaite calculer l'union entre ces deux evenements pouvons nous simplement faire:
    1 - P (intersection de ces deux evenements)
    au lieu de faire
    P(A) + P(B) - P (A inter B)


  • Jewel HADDAD


  • Jewel HADDAD

    voici l'arbre et je cherce l'union des evenements F1 et F3barre


  • Jewel HADDAD

    Du coup, moi j'ai fait:
    P (F3barre Union F1 ) = P (F3barre ) + P (F1) - P(F3barre intersection F1) = 0,51 + 0,49 - 0,2499 = 0,7501


  • Jewel HADDAD

    Mais vu que P (F3barre ) + P (F1) = 1 , j'aurais juste peux mettre 1 a la place, est ce que c'est le cas pour toutes les proba indepednantes?


  • mtschoon

    Bonjour,

    Je trouve ce que tu dis est confus en ce qui concerne A et B indépendants.
    Peut-être parles-tu de l'union.

    De façon générale p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)p(AB)=p(A)+p(B)p(AB)

    Pour A et B indépendants , p(A∩B)=p(A)p(B)p(A\cap B)=p(A) p(B)p(AB)=p(A)p(B)
    Donc, pour A et B indépendants : p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)p(B)p(AB)=p(A)+p(B)p(A)p(B)

    Dans l'arbre donné, F1,F2,F3F_1,F_2,F_3F1,F2,F3 sont indépendants.

    Cet arbre est un cas très particulier où l'arbre "ressemble" à un arbre de Bernouilli (avec exclusivement des probabilités de 0,49 et 0,51 à tous les niveaux de l'arbre).
    Ainsi, ce que tu dis est exact dans ce cas particulier.

    A ta dernière question que tu poses , je répondrais : non.


  • Jewel HADDAD

    Merci beaucoup pour votre aide.
    Donc si j'ai bien compris, c'est juste pour cet arbre que P (F3barre ) + P (F1) = 1 et que P (F3barre Union F1 ) = P (F3barre ) + P (F1) - P(F3barre intersection F1) = 0,51 + 0,49 - 0,2499 = 0,7501


  • mtschoon

    @Jewel-HADDAD ,

    Oui, dans ce cas particulier.


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