Montrer que deux événements A et B barre sont indépendants

Bonjour

Énoncé:
On considere E un univers et A,B deux evenements de E qui sont indépendants

Montrer que A et B barre sont indépendant

Merci

Bonjour,

Je suppose que tu sais que

$a‾∩b‾=aub‾\overline a \cap \overline b=\overline {a u b}$

(Sinon , il faut le prouver )

Piste,

$p(a‾∩b‾)=p(aub‾)=1−p(aub)p(\overline a \cap \overline b)=p(\overline {a u b})=1-p(a u b)$

$p(a‾∩b‾)=1−[p(a)+p(b)−p((a∩b)]p(\overline a \cap \overline b)=1-[p(a)+p(b)-p((a \cap b)]$

$p(a‾∩b‾)=1−p(a)−p(b)+p(a∩b)p(\overline a \cap \overline b)=1-p(a)-p(b)+p(a \cap b)$

Tu remplaces $\cap b)$ par $p(a)×p(b)p(a)\times p(b)$

En factorisant , tu dois arriver à $(1−p(a))×(1−p(b))(1-p(a))\times (1-p(b))$ c'est à dire à $p(a‾)×p(b‾)p(\overline a)\times p(\overline b)$

Bon calcul.

Pardon je m'en suis mal exprimer il n'y a que B qui sous la forme B barre

Donc, reprenons...............

$\cap b) \cup (a\cap \overline b)$

$\cap b$ et $\cap \overline b$ sont disjoints

Donc

$\cap b) +p (a\cap \overline b)$

Donc en transposant :

$(a\cap \overline b)=p(a)-p(a \cap b)=p(a)-p(a)\times p(b)$

Tu mets p(A) en facteur et au final , tu trouveras $p(a)×p(b‾)p(a)\times p(\overline b)$

@mtschoon Bonjour, je n'ai pas compris comment vous aviez trouvé : que
a barre ∩ b barre= a barre U b barre (ligne 1 de votre calcul)

et puis comment est ce que :
1 - p(a) - p(b) + p(a) x p(b)
= ( 1- p(a) ) x ( 1 - p(b) )

y a t-il une regle que je ne connais pas?

@Jewel-HADDAD , bonjour,
Pour la première ligne du calcul, il s'agit d'une loi de Morgan que tu peux facilement réaliser avec un schéma.
Je te mets un lien :
https://www.bibmath.net/dico/index.php?action=affiche&quoi=./m/morgan.html

Pour ta seconde qustion, il s'agit d'une factorisation :

$1−p(a)−p(b)+p(a)p(b)=(1−p(a))−p(b)(1−p(a))1-p(a)-p(b)+p(a)p(b)=\biggr(1-p(a)\biggr)-p(b)\biggr(1-p(a)\biggr)$

En mettant $(1 - p (a))$ en facteur, on trouve :

$1 - p (a) - p (b) + p (a) p (b) = (1 - p (a) (1 - p (b)$

Merci beacoup pour votre aide, je voulais aussi savoir si deux evenements sont independants et on souhaite calculer l'union entre ces deux evenements pouvons nous simplement faire:
1 - P (intersection de ces deux evenements)
au lieu de faire
P(A) + P(B) - P (A inter B)

@Jewel-HADDAD

voici l'arbre et je cherce l'union des evenements F1 et F3barre

Du coup, moi j'ai fait:
P (F3barre Union F1 ) = P (F3barre ) + P (F1) - P(F3barre intersection F1) = 0,51 + 0,49 - 0,2499 = 0,7501

Mais vu que P (F3barre ) + P (F1) = 1 , j'aurais juste peux mettre 1 a la place, est ce que c'est le cas pour toutes les proba indepednantes?

Bonjour,

Je trouve ce que tu dis est confus en ce qui concerne A et B indépendants.
Peut-être parles-tu de l'union.

De façon générale $p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A∩B)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A\cap B)$

Pour A et B indépendants , $p(A∩B)=p(A)p(B)p(A\cap B)=p(A) p(B)$
Donc, pour A et B indépendants : $p(A∪B)=p(A)+p(B)−p(A)p(B)p(A\cup B)=p(A)+p(B)-p(A)p(B)$

Dans l'arbre donné, $F_1,F_2,F_3$ sont indépendants.

Cet arbre est un cas très particulier où l'arbre "ressemble" à un arbre de Bernouilli (avec exclusivement des probabilités de 0,49 et 0,51 à tous les niveaux de l'arbre).
Ainsi, ce que tu dis est exact dans ce cas particulier.

A ta dernière question que tu poses , je répondrais : non.

Merci beaucoup pour votre aide.
Donc si j'ai bien compris, c'est juste pour cet arbre que P (F3barre ) + P (F1) = 1 et que P (F3barre Union F1 ) = P (F3barre ) + P (F1) - P(F3barre intersection F1) = 0,51 + 0,49 - 0,2499 = 0,7501

@Jewel-HADDAD ,

Oui, dans ce cas particulier.