Spé maths nombres de Sophie germain

[dodo16]

Bonjour,
Pour n entier naturel, on considere le nombre $N=n^4$+4
on se demande si il existe des valeurs de n pour lesquelles N est premier

1)montrer que si n est un multiple de 10,N est un multiple de 4
2)en étudiant le dernier chiffre de N en fonction de celui de n, demontrer que N est un multiple de 5 si et seulement si n n'est pas un multiple de 5

Je n'y arrive pas Merci d'avance pour votre aide

[mtschoon]

Bonjour,

Pistes à développer et à expliciter en détail ( *ce ne sont que des pistes *)

$n=10k$

donc

$n=(10k{)}^4+4=10000k+4=4\times (.........)$

2)Tu appliques la méthode indiquée dans l'énoncé.

Soit u le chiffre des unités de n et U le chiffre des unités de N

Tu traites les 10 cas possibles :
u= 0 ou 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9

Dans chaque cas , tu cherches le chiffre U des unités de N puis ensuite tu tires la conclusion demandée

1er cas : u=0

Rien à faire dans ce cas car n est multiple de 10 et d'après la question 1 , N est multiple de 4

2eme cas : u=1

n peut s'écrire p+1 donc n^4+1=(p+1)^4+1=......+5
U=5 donc N est multiple de 5

3eme cas : u=2

n peut s'écrire p+2 donc n^4+1=(p+2)^4+1=......+20
U=0 doncN est multiple de 5

etc

Bons calculs .

[Tanguy59]

salut

pour la b) j'ai utilisé les congruences

par exemple pour le deuxième cas si le dernier chiffre est 1 on à n congrue à 1 modulo 10

donc : n≡1 [10]
n^4≡1^4≡1 [10]
n^4+4≡1+4≡5 [10]

plus rapide et plus compréhensible et la prof de spécialité math sera plus contente

[mtschoon]

@Tanguy59 Bonjour,

J'ignore si @dodo16 avait vu les congruences lorsqu'il a posé la question, mais comme il a posté il y a plus de 5 ans, je ne pense pas qu'il nous le dise...

Traiter le b) avec les congruences (vu que tu les as étudiées en cours) est une très bonne idée.