f continue et périodique f(a+T/2)=f(a)

Bonjour à tous !

J'ai encore un exo Bonus qui me pose problème...

Soit f une fonction définie sur ℜ, continue, dont une période est T. Montrer qu'il existe a∈ℜ tel que f(a + T/2) = f(a)

Voilà, si vous pouviez me donner quelques pistes, ça serait avec plaisir

Merci

Bonjour,

Une piste possible de travail,

Tu poses $g(x)=f(x+t2)−f(x)g(x)=f(x+\frac{t}{2})-f(x)$

Tu justifies que g est continue.

Ensuite , tu cherches un intervalle I sur lequel , avec le théorème des valeurs intermédiaires , tu peux prouver l'existence d'un réel a tel que g(a)=0

Bonne recherche !

(Reposte si tu ne trouves pas I )

g est continue puisque c'est la différence de deux fonctions continues.

Mais pour I, j'avoue que je ne comprends pas

une piste ,

Exprime g(0) et g(T/2) et "médite"...

Je n'ose pas t'en dire trop car le but du "Bonus" semble être de trouver; mais évidemment , si tu ne vois pas le "truc", reposte .

Merci pour ces infos mais là, je me rends compte que je tourne en rond depuis tout à l'heure... --'

J'ai trouvé que : $-g(\frac{t}{2})$
$g(−t2)=g(t2)g(-\frac{t}{2}) = g(\frac{t}{2})$

J'ai trouvé plein d'autres égalités comme celles ci mais je sais pas quoi en faire

$g(0)=f(t2)−f(0)g(0)=f(\frac{t}{2})-f(0)$

$g(t2)=f(t)−f(t2)g(\frac{t}{2})=f(t)-f(\frac{t}{2})$

Vu que f est périodique de période T, f(T)=f(0), donc

$g(t2)=f(0)−f(t2)g(\frac{t}{2})=f(0)-f(\frac{t}{2})$

g(0) et g(T/2) dont donc des réels opposés , donc de signes contraires.

Si un est positif , l'autre est négatif .

Tu peux donc appliquer le théorème des valeurs intermédiaires sur l'intervalle I ( qui vaut [0,T/2] ) pour répondre à la question posée.

Ahhhhh d'accoooord !
Je viens de tomber sur le même résultat, j'allais le poster ^^'

Merci en tout cas pour ton aide, comme à chaque DM

C'est mieux que tu l'aies trouvé tout seul !

Bon DM !