Encadrement d'une solution


  • K

    Bonjour j'ai commencé mon DM mais j'ai un doute sur les résultats obtenus
    On a tracé la courbe de la fonction définie par f(x)=x3 -1/2

    Le but de ce travail est d'obtenir un intervalle contenant la solution f(x)=0 aussi petit que l'on souhaite. Entourer sur le graphique l'emplacement de la solution cherchée

    Principe du processus l'intervalle [a;b] est un intervalle variable qui doit contenir la solution et que l'on doit rendre de plus en plus petit. A chaque étape on va soit changer la valeur de a soit changer la valeur de b.
    PREMIER INTERVALLE
    [a;b] = [0;1]

    DEUXIÈME INTERVALLE
    on calcule le milieu de m de [a;b] puis f(a) et f(m) si f(a) et f(m) sont de même signe alors a prend la valeur de m et b ne change pas
    Sinon b prend la valeur de m et a ne change pas
    On obtient ainsi un deuxième intervalle dont on est sûr qu'il contient la solution

    TROISIÈME INTERVALLE
    on recommence le 2*

    1/ Donc mes résultats je trouve m= 0.5
    f(a)= -0.5 et f(m)=-0.375
    Donc [0.5;1] = diminué de moitié

    2/ f(a)=-0.375 f(m)=-0.078125
    Ensuite m=0.75 donc [0.75.1]

    Mon problème : L'encadrement sélectionne une partie de la courbe donc f(x)=0 n'est pas respecté

    Merci de votre aide !!


  • mtschoon

    bonjour,

    Revois le procédé indiqué ( dit par "dichotomie" )

    J'appelle x0x_0x0 la solution de f(x)=0 à encadrer.

    2ème étape :

    a=0 ; f(0)=-0.5

    m=0.5 ; f(0.5)=-0.375

    f(0) x f(0.5) = + 0.125 (c'est le signe qui compte)

    f(0) x f(0.5) > 0

    x ∉ [0 ; 0.5]

    <strong>x0<strong>x_0<strong>x0 ∈ [0.5 ; 1]

    3eme étape : tu dois travailler sur [0.5 ; 1]

    m=0.75 ; f(0.75)=-0.0781

    f(1)=0.5

    f(0.5) x f(0.75)= -0.0781 x 0.5 = - ....(c 'est le signe qui compte )

    f(0.75) x f(1) < 0

    <strong>x0<strong>x_0<strong>x0 ∈ [0.75 ; 1]

    Tu continues en travaillant sur**[0.75 ; 1]**

    etc


  • K

    Ah merci beaucoup ! J'avais fait comme ça sans "inverser" les chiffres dans les encadrés alors merci de m'avoir expliqué 🙂


  • K

    Je pense avoir compris mais est-ce que mon 4eme intervalle est bon ?
    m milieu de [0.75;1] = 0.875

    f(a)=-0.078125 f(m)=f(0.875)
    = 0.875(au cube) -1/2
    ≈ + 0.17
    signes différents donc il vaut :

    [0.75;0.875]


  • mtschoon

    C'et bon .

    Remarque , si ça peut-être utile pour vérifier (mais il ne faut pas t'en servir ! 😞
    x0x_0x0≈0.79370


  • K

    D'accord merci 🙂


  • K

    J'aurais une dernière question
    Mon 8 ème intervalle est de [0.12875;0.04]

    On me demande de calculer son amplitude et j'ai trouvé 0.00515 ? (0.12875*0.04)

    Ensuite la dernière question me demande jusqu'à quel intervalle il faudrait aller pour avoir une amplitude inférieur à 0.00001
    J'ai pensé qu'il fallait résoudre l'équation 0.00515 * x =0.00001
    D'où x = 0.001941748
    Mais je ne pense pas que ce soit juste c'est trop grand ? Donc comment faire ? Merci beaucoup encore 🙂


  • mtschoon

    Je reste perplexe...

    Pour pouvoir vérifier , je t'ai donné une valeur approchée (très précise) de x0x_0x0 ( la solution de l'équation )

    Si j'ai bien lu,l'intervalle que tu donnes ne semble pas contenir cette valeur....


  • K

    Ah mais je ne vois pas où est l'erreur ? Voulez vous que je vous donne mes autres intervalles pour savoir si l'erreur est plus haute et que je ne l'ai pas vu ?


  • mtschoon

    Effectivement , si tu ne vois absolument pas où est l'erreur , donne les intervalles et nous vérifierons.


  • K

    Alors voilà
    1- [0;1]
    2-[0.5; 1]
    3-[0,75; 1]
    4- [0,75; 0,875]
    5- [0,75; 0,04] : f(m): f(0,8125)≈ 0,04
    6- [0,395;0,04]
    7- [0,2175; 0,04]
    8- [0,12875;0,04]
    J'ai regardé une seconde fois mais je ne vois pas où est l'erreur..


  • mtschoon

    Je n'ai fait aucun calcul , mais visiblement c'est l'intervalle 5 qui ne va pas.

    Le milieu m de [0.75 ; 0.875] est 0.8125

    Détermine le signe de f(0.75) x f(0.8125) et tire la conclusion .

    Je crois que tu t'es égaré(e) dans le procédé.


  • K

    C'est bon j'ai compris mon erreur je n'ai pas renplacé b par m mais par son résultat d'où l'erreur mon dernier intervalle fait donc [0,7890625; 0796875]


  • mtschoon

    Cette fois , cela semble bon.

    Si j'ai compris ce que tu dois faire pour la fin de ton exercice , je ne vois pas de méthode miraculeuse...
    Il faut continuer le procédé jusqu'à avoir une amplitude inférieure à 0.00001.

    Sauf erreur, tu dois pouvoir t'arrêter au 18ème intervalle.

    Remarque : au lieu de faire ce travail "à la main" , tu pourrais faire un algorithme pour automatiser ce procédé , mais cela ne semble pas être demandé.


  • K

    D'accord merci j'essaierai sur Algobox peut être que j'y arriverai merci du conseil !


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