nombres complexes



  • Bonjour
    j ai quelques difficultés sur la fin d'un exercice avec les recurences:

    on cosidere la suite (Zn) à termes complexes definies par Zo= 1+i et pour tout entier naturel n par Zn+1= (Zn+ module de Zn) /3 pour tout entier naturel n on pose Zn+ An +iBn où An est la partie réelle de Zn et Bn est la partie imaginaire de Zn

    1. on rappele que tous nombres complexes Z et Z': module de (Z+Z')≤module de Z + module de Z'
      Montrer que pour tout entier naturel N module de Zn+1≤ (2 x (module de Zn))/3
    1. on pose que pour tout entier naturel n Un=module de Zn. montrer par recurence que pour tout entier naturel n : Un≤ ((2/3)^n )x√2

    →j ai deja fait les condition initiales c est a dire ou n= o pour l initialisation j obtient ansi pour U0= √2 ce qui est bien plus petit que ((2/3)^n )x√2 c ar quelque sois n il sera toujour superieur ou egal (n=0) a √2
    mais apres j arrive pas a l'heredite

    5)montrer que pour tout entier naturel n :module de An≤ Un
    →la aussi j ai trouve l initialisation ou module de A0=1 et U0= √2
    mais j arrive pas non plus a l herideté
    merci d avance de bien vouloir m aider


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste pour la 3)

    Utilise la propriété indiquée et la réponse est presque automatique.

    zn+1=zn+zn3z_{n+1}=\frac{z_n+|z_n|}{3}

    zn+1zn+zn3|z_{n+1}|\le \frac{|z_n|+||z_n||}{3}

    or zn=zn||z_n||=|z_n|

    donc

    zn+1zn+zn3z_{n+1}\le \frac{|z_n|+|z_n|}{3}

    donc ............................( tu termines )


  • Modérateurs

    Piste pour la 4) , relative àl'hérédité

    D'après la question 3) :

    zn+12zn3|z_{n+1}| \le \frac{2|z_n|}{3}

    c'est à dire :

    un+12un3u_{n+1} \le \frac{2u_n}{3}

    Par hypothèse de l'hérédité :

    un(23)n×2u_n\le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2

    donc :

    un+123((23)n×2)u_{n+1} \le \frac{2}{3}((\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2)

    donc : .........................................( tu termines )

    Pour la 5), tu n'as pas besoin de récurrence

    Fais directement le calcul.



  • bonjour merci bien sa ma bien aider par contre
    pour la 4 il me demandent si la suite converge ou pas et de determiné la limite eventuelle

    je sais qu il faut d abort prouver qu elle est croissante avec Un+1 - Un et utiliser le theoreme des convergence monotone mais j avoue que pour trouver la limite en ayant une inegalité je galere un peu car normalement on utilisait l. Alors j ai pensait faire avec lim (2/3)^n x √2 mais je ne sait pas si c est juste

    et pour la 5 j ai pas bien compris ce qu il fallait faire faire le calcule c est a dire ?
    merci d avance


  • Modérateurs

    Pour la convergence de la suite (Un(U_n) pense au théorème des deux gendarmes .

    0un(23)n×20\le u_n \le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2

    cherchelimn+(23)n×2\lim_{n\to +\infty}(\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2

    Tu pourras en déduire que la suite (Un(U_n) converge vers ....



  • a oui c est 0 la reponse etait bete finalement
    j'ai une derniere hesitation a vous faire part :
    a un autre exercice si la reponce est vrai ou fausse et de justifier
    il y a une question ou ils disent

    Dans un plan muni d'un repere orthonormé, l'ensemble des points M d'affixe Z verifiant: module de Z-i= module de Z+1 est une droite

    je serait tenté de repondre vrai car un module est une longueur d'un point vers un autre de ce fait il s agit d'une droite mais apres je ne suis pas tres sur
    merci d'avance


  • Modérateurs

    C'est bien ça pour la 4)

    As-tu fait la question 5) ???

    S'il te plait, ouvre une autre discussion pour ton autre exercice, sinon c'est le désordre.



  • Ok j ouvrirait une autre conversation pour l exo

    par contre j ai pas fait la 5) car j ai pas bien compris ce que vous insinuer par faire directement le calcul


  • Modérateurs

    Pour la 5) tu fais une démonstration sans récurrence .

    un=zn=(an)2+(bn)2u_n=|z_n|=\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}

    Or ,

    (an)2+(bn)2(an)2(a_n)^2+(b_n)^2 \ge (a_n)^2

    donc

    (an)2+(bn)2(an)2\sqrt{(a_n)^2+(b_n)^2}\ge \sqrt{(a_n)^2}

    donc

    un............u_n \ge ............



  • Ok en tout cas merci beaucoup pour toute cette aide que vous avez fourni sa m a vraiment aidé
    merci encore 😉


  • Modérateurs

    De rien (et ouvre une discussion pour ton autre exercice , si tu as besoin )



  • une derniere question pour la 4) quand je cherche si la suite est convergente je fait
    Un= module de Zn et Un+1=module de Zn+1
    soit Un+1 -Un = module de Zn+1 - Zn
    soit (2 module de Zn)/3 -Zn
    = -1 module de Zn/3
    de ce fait la suite est decroissante mais c est en desacord avec l equation car normalement elle devrait etre croissante puisque Un est majoré par (2/3)n(2/3)^n x √2
    je pense que j ai du me tromper quelque part...


  • Modérateurs

    Le fait que (Un) soit majorée n'a rien à voir avec le sens de variation de la suite ( croissante ou décroissante )

    (Un) majorée par M veut dire que pour tout n , Un ≤ M



  • Je me suis mal exprime en faite comme dans la question ils me disent en deduire que Un converge
    donc on voit que Un est majoree par (2/3)n(2/3)^n x√2 donc si je veux que Un converge d apres la propriete il faut que la suite soit croissante et donc que mon Un+1 - Un soit positif
    or je trouve un Un+1 - Un negatif ce n est pas coherent avec le "en deduireque Un converge"c eqt sa qui me coince


  • Modérateurs

    Tu confonds.

    Toute suite croissante et majorée est convergente , mais la réciproque n'est pas vraie !
    Une suite convergente n'est pas forcément majorée.

    Comme je te l'ai déjà dit , raisonne par encadrement en utilisant le théorème des 2 gendarmes.

    0un(23)n×20\le u_n \le (\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2

    limn+(23)n×2=0\lim_{n\to +\infty}(\frac{2}{3})^n\times \sqrt 2=0

    Donc :

    limn+un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0



  • En faite si j ai bien compris il ne faut pas faire le un+1 -Un
    car si on dermine la limiteon prouve par la meme occasion qu elle converge c est sa ?



  • Pour la 5) (car ils demandent aussi la lim) j ai fait la meme chose que dans la 4 avec le theoreme des gendarmes comme on connait la lim de Un e je trouve que que la lim de an fait 0


  • Modérateurs

    Tu fais UU_{n+1}Un-U_n lorsqu'on te demande le sens de variation de la suite .

    Une suite est convergente si (et seulement) si elle a une limite finie.

    Pour la 5) , ton idée est bonne mais il faut passer par |ana_n|

    0anun0 \le |a_n| \le u_n

    Vu que limn+un=0\lim_{n\to +\infty}u_n=0 , alors :

    limn+an=0\lim_{n\to +\infty}|a_n|=0

    donc

    limn+an=0\lim_{n\to +\infty}a_n=0



  • A oui c est vrai que pour la 4 il me demande juste la limite vers quoi un tend
    en tout cas merci d avoir bien prit votre temp pour tout m expliquer 😄


  • Modérateurs

    Si tu as bien compris , c'est parfait !


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