Calculs de probabilités qu'une clé ouvre une porte

Bonsoir,

En réalité je n'ai pas su comment résoudre ce problème. A vrai dire, j'ai juste une petite idée, et je ne sais pas si c'est vrai ou faux.

Voila l'exercice:
Monsieur Duboit veut regagner son domicile après une soirée animée chez des amis. Il a garé sa Sultane dans une rue si sombre qu'il ne parvient pas à reconnaître la bonne clé parmi son trousseau. Celui-ci comporte quatre clés différentes et Monsieur Duboit les essaye, méthodiquement, tour à tour, jusqu'au moment ou il parvient à ouvrir sa voiture.
a)Quelle est la probabilité qu'il parvienne à ouvrir la porte en premier essai?
b)Quelle est la probabilité qu'il parvienne au deuxième essai?
c)Quelle est la probabilité qu'il parvienne en deux essais maximum?
d)On appelle X le nombre d'essais réalisés pour parvenir à ouvrir la porte. Quelle est la loi de X? Donner une prévision du nombre d'essais nécessaire pour ouvrir la porte?

Bah d'après la dernière question, je me suis dit que peut être il s'agit d'un processus de Bernoulli de (4 ; 1/4)... ??

Bonsoir pinpon,

Quelle est la probabilité d'ouvrir la porte au premier essai ?

a)
Il y a 4 clés, chacune a la même probabilité d'être la bonne.

La probabilité qu'il parvienne à ouvrir la porte au premier essai
= la probabilité que la première clé choisie soit la bonne
= 1/4.

b)
La probabilité qu'il parvienne à ouvrir la porte au deuxième essai
= la probabilité que la deuxième clé choisie soit la bonne
= 1/4.

c)
Notons P la probabilité qu'il parvienne en deux essais maximum.

P = probabilité ("il parvient à ouvrir la porte au premier essai" OU "il parvient à ouvrir la porte au deuxième essai")

Or ces deux évènements sont incompatibles (il ne peut pas réussir au premier ET au deuxième essai)
et on sait que :
si A et B sont incompatibles, P(A ou B), c'est à dire P(A U B) = P(A) + P(B)

donc
P = probabilité ("il parvient à ouvrir la porte au premier essai") + probabilité ("il parvient à ouvrir la porte au deuxième essai")
= 1/4 + 1/ 4
= 1/2

d)
P(X=1) est la probabilité qu'il réussisse au premier essai.
P(X=2) est la probabilité qu'il réussisse au deuxième essai.
...etc...
On sait que P(X=1)=P(X=2)=P(X=3)=P(X=4)=1/4
donc X suit une loi uniforme.

Modératrice, je dirai 1/4... Sinon merciiii.

Ah merci pour l'aide, je l'ai tellement confondu avec une loi Bernoulli... Merci, c'est très gentille.

En ce qui concerne la prévision, est ce qu'il s'agit de trouver l'espérance ?

Bonjour,

Oui la "prévision" : je comprends aussi qu'il faut calculer l'espérance.

Merciiii pour l'aide Webmaster !

Bonjourpinpon,Noemi, François69 etThierry,

Cet énoncé n'est pas très précis et laisse perplexe (nous en avons même parlé en coulisse entre modérateurs).

Pinpon, pourrais-tu, en demandant à ton professeur par exemple, nous dire siles essais successifs (avant de trouver la bonne clé) sontDEPENDANTS ou INDEPENDANTS.

Si les essais sont dépendants (c’est à dire si le choix d’une clé dépend de la clé précédemment choisie) , les suggestions de François69 sont les bonnes.

Par contre, si ces essais sont indépendants, une autre solution s’impose.

Merci pour ta réponse.

Si tu ne peux pas savoir, ce sera aimable à toi de nous l’indiquer lorsque tu auras la correction.

Bonjour Modératrice,

si je peux me permettre, la réponse à la question "les essais sont ils indépendants" et dans l'énoncé :
"Monsieur Duboit les essaye, méthodiquement, tour à tour"

Je vous rejoins sur le fait que l'énoncé laisse perplexe, la dernière question "Donner une prévision du nombre d'essais nécessaire pour ouvrir la porte ?" n'ayant pas de réponse satisfaisante.

En effet, le nombre d'essai sera compris entre 1 et 4, avec la même probabilité d'être égal à 1, 2, 3 ou 4. On ne peut donc pas "prévoir" le nombre d'essai nécessaire.

On peut simplement dire que si on reproduit cette situation un grand nombre de fois, la moyenne du nombre d'essai nécessaire se rapprochera de 2,5, soit l'espérance d'une loi uniforme U{1;2;3;4}.

Bonjour François69 ,

"Modératrice"...je ne sais pas trop qui sait, car il en a plusieurs...

La phrase que tu indiques est assez ambiguë ...(ce n'est pas de ta faute, c'est l'énoncé qui est ainsi écrit) et avec la démarche de "dépendance", l'espérance vaut exactement 2.5 et comptée sur 4 valeurs ...ça fait désordre pour parler de prévision d'un nombre d'essais...

Cet énoncé me parait mal "ficelé", si je puis dire...

Attendons ce que va nous dire pinpon.

Je corrige ma faute d'orthographe, je voulais écrire :

La réponse à la question "les essais sont ils indépendants" EST dans l'énoncé : "Monsieur Duboit les essaye, méthodiquement, tour à tour"

Mtschoon, je m'adressais en effet à toi.
Je n'avais pas remarqué que vous étiez plusieurs.

Ah ouuups,

Modératrice mtschoon, je ne pense pas pouvoir vous aidez, car on vient de terminer; bien précisément, aujourd'hui les examens relatif à ce semestre chez nous et nous sommes officiellement en vacance en attendant le semestre suivant. Pourtant, notre professeur nous a donnée cet exercice (sans aucune remarque de sa part) sous forme d'un TD, contenant d'autres exercices que nous avons pas corriger, c'est pour cela j'ai désiré savoir la correction...

Bref, je ne peut pas vous aider... Je m’excuse !

Sinon, ça serai intéressant de savoir qu'est ce qui se passera si les événements étaient indépendants.

Merci d'avoir répondu pinpon.

Evidemment, s’il s’agit simplement d’un exercice de TD parmi d’autres, peut-être que le contexte général permet de comprendre exactement, sans se poser des questions !
Nous , on n’a pas le contexe, d’où mes doutes…

Dans la solution (tout à fait exacte) proposée par François69, les essais sont dépendants
Exercice de probabilités conditionnelles type Première-Terminale, que l'on peut traiter en faisant un arbre probabiliste.
Interprétation de " Monsieur Duboit les essaye, méthodiquement, tour à tour" par le fait que : lorsqu'une mauvaise clé est essayée, elle est mise de côté, et elle n'est pas utilisée à l'essai suivant. C’est logique!
$p(x=4)=34×23×12×1=14p(x=1)=\frac{1}{4} \ p(x=2)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{3}=\frac{1}{4} \ p(x=3)=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4} \ p(x=4)=\frac{3}{4}\times \frac{2}{3}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{4}$

Avec cette version là , la prévision demandée n’est vraiment pas pertinente, d’où interrogation

Dans les exercices que tu as posés récemment, il semblerait que tu travailles sur les lois de probabilités discrètes infinies ( loi binomiale, loi de Poisson, …).
Cet exercice de probabilités conditionnelles (où X prend 4 valeurs seulement) semble «anachronique».

Après une soirée animée et avec l’obscurité de la rue, Mr Dubois n’avait peut-être pas tous ses esprits et essayait systématiquement les clés sans tenir compte des clés déjà essayées, .d’où essais indépendants.
Cette version là s’intègre mieux dans le contexte de ton travail actuel et rend la prévision demandée pertinente.
Mais, si c’est cela la version souhaitée, elle aurait dû êtreclairement explicitée dans l’énoncé, ce qui n'est pas le cas! dommage!

Je te donne, dans cette optique, pour consultation, la loi générale de X

Pour chaque essai (schéma de Bernoulli
Soit B l'évènement : choisir la bonne clé
$p(b)=14p(b)=\frac{1}{4}$
Soit M l'évènement : choisir une des 3 mauvaises clés.
$p(m)=p(b‾)=1−14=34p(m)=p(\overline{b})=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$

X est le nombre d'essais effectués jusqu'à ce que B soit réalisé pour la première fois

Il y a n essais indépendants pour que la bonne clé soit choisie au $nieˋmen^{ième}$ essai

Pour tout n de N*, la probabilité cherchée est :

$p(x=n)=p(m)\times p(m)...\times p(m)\times p(b)=(p(m))^{n-1}\times p(b)=(\frac{3}{4})^{n-1}\times\frac{1}{4} \$

La variable X suit la loi géométrique de paramètre p
$p=14p=\frac{1}{4}$

L'espérance est

$\frac{1}{p}=4$

Prévision du nombre d'essais nécessaires pour ouvrir la porte : 4

D'accord, je le ferai si on le corrige. Mais importe de vous indiquer qu'on a pas étudier la loi géométrique. Effectivement, d'après les exercices que j'ai posté on à travailler surtout sur les lois de Poisson et de Bernoulli, alors je pense pas qu'il envisageait de le résoudre avec la loi géométrique.

Pourtant, merciiii pour la correction! Je vois ou réside les différences maintenant, mais comme vous l'avez noté ce n'était pas expliciter dans l’énoncé.

*Ah, merciiiii ! *

De rien ! Nous avons fait au mieux.

Pour la loi dite "géométrique" , nul n'est besoin de connaître le terme pour l'utiliser: la formule se trouve par raisonnement.

Tu as compris les deux aspects : c'est parfait; c'était le but; Tu as ainsi un entraînement de plus. Aucune importance si on ne te corrige pas ton exercice.

*Bon examen et bonnes vacances! *

Oui, exactement.

Yaaay, merciiiiiii