Matrice démontration par récurrence.

Bonjour,

Il s'agit de dire si l'affirmation est vraie ou fausse et de justifier.

Soit B une matrice carré d'ordre 2 telle que -2B²+3B=I2
Il existe une suite (bn) définie sur N telle que pour tout n de N: B^n=bnB+(1-bn)I2

On doit donc essayer de trouver: B^(n+1)=bn+1B+(1-bn+1)I2,
Mais je ne sais pas comment faire.

Merci pour votre aide.

Bonsoir,

Une piste pour démarrer le calcul, mais on ignore tout de $b_n$ et $b_{n+1}$ ...

$bn+1=b×bnb^{n+1}=b\times b^n$

$bn+1=b×[bnb+(1−bn)i2]b^{n+1}=b\times [b_nb+(1-b_n)i_2]$

Tu distribues :

$b^{n+1}=b_nb^2+(1-b_n)b$

Il te reste à remplacer B² par l'expression obtenir avec la relation $2b^2+3b=i_2$

c'est à dire $b2=32b−12i2b^2=\frac{3}{2}b-\frac{1}{2}i_2$

J'ai remplacé par B² dans l'expression:

B^(n+1)= bn(3/2B - 1/2I2)+(1-Bn)B

Mais je ne comprends ce que l'on peut en déduire.

Je ne sais pas si l'affirmation est vraie ou fausse.

$bn+1=bn(32b−12i2)+(1−bn)bb^{n+1}= b_n(\frac{3}{2}b - \frac{1}{2}i_2)+(1-b_n)b$

Il fautterminer le calcul en développant et en mettant B en facteur

Tu obtiendras ainsi une expression du type :

$b^{n+1}=(...)b+(...)i_2$

Ensuite, tu pourras tirer les conclusions.

On obtiendrait:

B^(n+1)= B(3/2bn +1 -bn)-1/2bnI2 .
=B(1/2bn +1)-1/2bnI2 .

Alors l'affirmation est fausse ?

Avant de pouvoir répondre, ile faut réfléchir et compter !

Si j'ai bien lu(vérifie car ce n'est pas facile à lire, sans Latex...), tu obtiens

$bn+1=(12bn+1)b+(−12bn)i2b^{n+1}=(\frac{1}{2}b_n+1)b+(-\frac{1}{2}b_n)i_2$

Tu voudrais :

$b^{n+1}=b_{n+1}b+(1-b_{n+1})i_2$

Tu procède par identification

Je ne sais pas vraiment comment faire.
Il faut comparer les deux expressions ?

oui.

Tu as donc (par identification):

$\left{1-b_{n+1}=-\frac{1}{2}b_n\\frac{1}{2}b_n+1=b_{n+1}\right$

il y a une contradiction ou non?

quelle conclusion à tirer?

Dans la première expression, a gauche il y a 1/2bn alors que dans la seconde expression on a bn+1 uniquement.
A droite on a -1/2bn alors que dans la seconde expression a -bn+1.

Ce ne sont pas les mêmes expressions
?

Relis mon précédent message et tire la conclusion.

Excusez-moi j'essaye de comparer mais je ne vois pas ce que l'on cherche.

Tu as écrit dans l'énoncé :
Citation
Il existe une suite (bn) définie sur N telle que pour tout n de N: B^n=bnB+(1-bn)I2

Vrai ou Faux ?

C'est ce que l'on cherche.

Si tu as compris le système obtenu par identification, en transformant la première égalité, tu dois constater que les deux égalités sont équivalentes à :

$\fbox{b_{n+1}=\frac{1}{2}b_n+1$

Conclusion : l'affirmation de l'énoncé est VRAIE, la suite $b_n$ ) étant définie par la relation encadrée.

Je te conseille de revoir tout ça tranquillement.

Merci beaucoup pour votre aide; je vais essayer.
Mais la démarche que nous avons utilisée est une démonstration par récurrence ?

Comment faire l'Initialisation ?

Pour te répondre au sujet de récurrence : il s'agit de trouver une suite, grâce à une récurrence

Vu que l'énoncé précise n ∈ N , il faut commencer à n=0

$b^0=b_0b+(1-b_0)i_2$

$b^0=i_2$

Donc $b_0=0$

Le premier terme de la suite $b_n$ ) est donc 0

D'accord, et après dans l'hérédité il faut écrire ce que vous avez expliqué
?

oui, mais seulement si tu l'as compris...

Ce n'est pas une récurrence pour démontrer une propriété donnée, c'est utiliser le principe de récurrence pour trouver une propriété ( ici une suite ).

Je vais revoir l'identification.
Je vous remercie pour ces expliquations.

( Pour l'Initialisation c'était avec N* )

Comme les expressions sont également peut-on dire que:

B(1/2bn +1)-1/2bnI2 = B^(n+1)=bn+1B+(1-bn+1)I2

?

Si n∈N* , calcule $b_1$

Pour ta dernière question, la réponse est oui

Il faut que tu comprennes que, dans les deux expressions de $B^{n+1}$ , les coefficients de B sont égaux entre eux, et les coefficients de $I_2$ sont égaux entre eux.

D'accord.
$B^1$ = $b$ _1 $B + (1 - b$ _1 $I_2$

Mais je ne sais pas comment simplifier.

$b^1=b$

L'égalité s'écrit :

$b= b_1b+(1-b_1)i_2$

Donc

$b_1=1$

Tu ne sembles pas encore maitriser le principe, alors revois tout ça de près.