Ecrire sous forme algébrique un nombre complexe et construire ensemble de points

Bonjour, je suis bloquée sur un exercice sur les complexes

Enoncé :

I) Soit z=x+iy avec x et y réels et Z=(z-2)/z-1) avec z≠i

Ecrire Z sous forme algébrique.
Déterminer puis construire l'ensemble des points M (x;y) tels que :
a) Z soit réel
b) Z soit un imaginaire pur
Je suis bloquée ici : $z=(x−2)x+(x−2)(−i(y−1))+iyx+iy(−i(y−1))x2+(y−1)2z=\frac{(x-2)x+(x-2)(-i(y-1))+iyx+iy(-i(y-1))}{x^{2}+(y-1)^2}$

II) Soit z=x+iy avec x et y réels et Z=(z+3+7i)/(z-1+3i) avec z≠1-3i

Ecrire Z sous forme algébrique.
Déterminer puis construire l'ensemble des points M (x;y) tels que :
a) Z soit réel
b) Z soit un imaginaire pur

Ici je suis complètement bloquée

merci de votre aide

Bonjour,

Principe si tu es bloquée à la 1):

tu dois développer le numérateur ( pense que i²=-1 ) et mettre i en facteur.

Tu devrais revoir tous tes calculs, car visiblement le dénominateur est faux :

z-1=x+iy-1=(x-1)+iy

en multipliant par le conjugué, au dénominateur, tu dois trouver :

$x-1)+iy)((x-1)-iy)=(x-1)^2-i^2y^2=(x-1)^2+y^2$

Pour que tu puisses vérifier, je te donne des résultats .

Sauf erreur:

$re(z)=x2+y2−3x+2(x−1)2+y2re(z)=\frac{x^2+y^2-3x+2}{(x-1)^2+y^2}$

$im(z)=y(x−1)2+y2im(z)=\frac{y}{(x-1)^2+y^2}$