Un système d'équation à deux inconnues

Notre professeur nous a appris comment résoudre un système d'équation à deux inconnues, mais je n'ai comprend compris strictement rien du tout :

Voici un petit exemple de son cours :

20a+b = 11
13a+b = 8

On élimine b :

20a+b = 11
-13a-b=-8

7a+0 = 3
a = 3/7
d'où y=3/7x+17/7

On élimine a :

260x
-260a-20b=-160

0-7b = -17
b = -17/-7
b=17/7

Et notre professeur nous a dit de nous entraîner avec un autre exemple :

2x+3y = 8
5x-4y=-3

On élimine a On élimine b

Puis à la fin nous devons retrouver ça comme réponse :

S={(1,2})

Bonjour,
Ce n'est pas clair.
Dans ton modèle, tu mélanges les a,b, avec les x,y.
Précise à quel endroit tu éprouves des difficultés.
Pour le second exemple, commence par vérifier que la solution proposée convient bien.

Justement, lors du cours il fallait copier le tableau, le tableau qui est l'exemple, mais je ne sais pas si je me suis trompée en recopiant ou pas.

J'ai compris l'élimination de b, mais pas celle de a, je ne sais pas si je me suis trompée en recopiant car x n'a peut-être rien a voire avec l'équation?
Je n'ai pas compris comment on trouve -160 mais j'ai compris le reste du calcul!

A moins que "x" soit le symbole d'une multiplication ?
Sans doute ton système provient-il d'un problème plus vaste : chercher l'équation d'une droite ? Ce qui expliquerait "d'où y=3/7x+17/7" qui est quand même mal situé.

De toute façon, il manque des lignes dans l'élimination de a.
20 a + b = 11 :
Je multiplie tout par 13, j'obtiens :
260 a + 13 b = 143
13 a + b = 8 :
Je multiplie tout par -20 (attention aux signes) : qu'obtiens-tu ?

Mon cours devient un peu plus clair !

Donc cela fait :

-260a-20b= -160

Par contre pourquoi multiplie-t-on la deuxième équation par (-20) et non par (20) ?

On pourrait aussi par 20. C'est juste qu'on va "ajouter" membre à membre les deux égalités obtenues (sinon, il faudrait les soustraire : question de choix personnel).
On a donc obtenu :
260 a + 13 b = 143 et :
-260 a - 20 b = -160
Ajoute à gauche et à droite.

Ces équations font partie de l'élimination de droite seulement (c'est-à-dire l'élimination de a) ou l'équation 260a+13b=143 fait partie de l'élimination a et l'autre, de b ?

Ces équations font partie de l'élimination de droite seulement (c'est-à-dire l'élimination de a) ou l'équation 260a+13b=143 fait partie de l'élimination a et l'autre, de b ?

Non.
Quand tu ajoutes, les "a" disparaissent (on a éliminé a). Il reste des termes en "b" permettant ainsi de calculer b.
Regarde la première partie : "élimination de b" : les "b" disparaissent et tu as pu calculer a (a= 3/7).

Je viens de comprendre, merci! Alors si j'ai bien compris, cela fait

260a - 260a = 0a
13b - 20b = -7b
143 - 160 = -17

d'où le 0 - 7b = -17 ?

C'est cela.
D'où b = 17/7.
La méthode utilisée n'assure pas l'existence d'une solution, tu dois donc effectuer une vérification des deux équations données au début.

Oui cela est marqué dans le cours, mais si je dois faire une équation à deux inconnue dois-je vérifier obligatoirement les deux équations au début?

Cela dépend de la méthode utilisée.
Pour cette méthode-ci où tu élimines séparément les inconnues, tu dois vérifier les deux équations du début.

(Ah non, je me suis trompée, je ne l'ai pas sur mon cours car ce que j'ai bien avant c'est juste deux points qu'on nous donne.)

Je n'ai pas compris comment la vérifier ?

Première équation : tu remplaces a par 3/7 et b par 17/7 :
20a + b = 20*3/7 + 17/7
= 60/7 + 17/7
= 77/7
= 11 qu'il fallait trouver.

Tu fais de même pour la seconde équation.

Je l'ai tapée sur ma calculatrice tout à l'heure et cela me faisait 400/7 et je m'étais trompée car j'ai fait 203/7+2017/7 au lui de 20*3/7 + 17/7 et je ne pensais pas que c'était ça alors que c'était logique...! :rolling_eyes:

Alors la seconde équation : 13 a+b = 8
alors 13*3/7 + 17/7 = 8

J'ai essayée de le faire avec l'exercice que nous a donné le prof mais je ne tombe pas sur les résultats donnés !!

N'écris pas l'égalité (=8) avant de l'avoir vérifiée.
Tu calcules simplement 13a + b :
13a + b = 13*3/7 + 17/7
= 39/7 + 17/7
= 56/7= 8
Donc 13a + b = 8 pour les valeurs a = 3/7 et b = 17/7(Simple question de présentation).
Pour la seconde, c'est encore plus simple : il n'y a pas de dénominateur.

J'élimine y :Si 2x + 3y = 8, alors 8x + 12y = 32 (j'ai tout multiplié par 4)
Si 5x - 4y = -3, alors 15x - 12y = -9 (j'ai tout multiplié par 3)
Donc, (8x+12y) + (15x - 12y) = 32 + (-9)
Ce qui donne 23x = 23, et donc x = 1.
J'élimine x :Et si c'était toi qui le faisait ?

j'ai compris votre méthode, mais dois-je changer qu'à partir de (8x+12y)+(15x-12y) = 32+(-9) ?

Non.
Tu dois choisir d'autres multiplicateurs (que 4 et 3) pour pouvoir éliminer x cette fois. Il faut qu'en ajoutant, les "x" disparaissent.

Je choisis n'importe quel autre multiplicateur?

Non. Tu dois observer les coefficients afin de pouvoir éliminer "x".
Si par exemple tu ajoutes tel que c'est écrit, tu obtiens 7x + ... et les "x" restent.
Si tu multiplies la première par 2 et la seconde par 3, tu obtiens 19x + ... et les "x" sont toujours là.
Si tu multiplies la première par 5 et la seconde par (-??), les "x" disparaitront lorsque tu ajouteras.

Alors la première ligne doit être multipliée par 5 et la deuxième par -2 ?

Oui.

Je viens de comprendre !

10x + 15y = 40
-10 x + 8y = 6

(10x + 15y) + (-10x+8y) = 40 + 6

(15 y + 8 y = 23) et (40 + 6 = 46)

alors 23y = 46

⇔ y = 46/23
⇔ y = 2

ça n'a pas été évident à refaire pour le y au début, mais au final c'est facile une fois compris

N'oublie pas la vérification.
Exerce-toi en refaisant ces deux exemples et d'autres.

Je vérifie = 2 X 1 + 3 X 2 = 2 + 6 = 8
5 X 1 - 4 X 2 = 5 - 8 = -3

Merci de votre aide !

De rien.