Suite et fonction ln

Bonjour, je dois résoudre cet exercice pour la semaine qui arrive et je suis bloqué pour les 2 dernières questions

Soit f(x) = x/ln(x) sur ]1;+∞[
Determiner les limites en 1 et +∞ et variations de f : j'ai trouvé +∞ pour les 2 limites et f est décroissante de 1 a e (1 valeur interdite) puis croissante de e à +∞

Ensuite on me donne une suite definie par Uo=9 et Un+1 = f(Un) pour tout entier naturel n
2)a) on demande de placer Uo, U1 et U2 sur l'axe des abscisses et d'en conjecturer ses variations et son comportement : elle semble décroissante
b) montrer par récurrence que Un≥e pour tout n : ça c'est ok
c) calculer Un+1 - Un en déduire les variations de (Un) puis qu'elle converge vers une limite l. : alors je trouve que Un+1 - Un = Un-Un×Ln(Un)/ln(Un)≥0 car Un≥e (c'est juste ?) donc (Un est croissante. Je ne trouve pas la limite je pense que c'est la même que pour la fonction (+∞) mais comme la limite doit être finie ça Cole pas. HELP
d) on admet que l vérifie l=f(l) determiner cette limite

Merci d'avance pour votre aide!

Bonjour,

Bizarre ce que tu écris...

Citation
Soit f(x) = x/ln(x) sur ]-1;+∞[
La fonction ln n'étant définie que pour x > 0, il y a un problème...
En plus, lnx≠0 <=> x≠1

Merci de vérifier.

Oui erreur de frappe désolé c'est ]1;+∞[

C'est mieux ainsi !

2)a) et 2)b) sont justes

2)c) le calcul semble bon mais le signe trouvé est faux

$un+1−un=un(1−ln(un))ln(un)u_{n+1}-u_n=\frac{u_n(1-ln(un))}{ln(u_n)}$

$\ge e\ donc\ un \gt 0\ et\ ln(u_n) \gt 0$

De plus,

$\ge e \ donc \ ln(u_n)\ge ln(e) \ donc\ ln(u_n) \ge 1 \ donc\ (1-ln(u_n))\le 0$

Bilan : $un+1−un≤0u_{n+1}-u_n\le 0$

Suite (Un) décroissante.

Toute suite décroissante et minorée est convergente, donc la suite (Un) est convergente (vers un réel l )

La limite de la suite n'a rien à voir avec la limite de la fonction.

tu dois résoudre f(l)=l

Merci !
Je trouve l=e

C'est bon.