Application de dérivé

Bonjour a tous je suis nouveau et j'aurais besoin de votre aide sur mon dm de maths merci d'avance

Énoncé:

C est la courbe représentative de f dans le plan muni d'un repère orthonormal.

On appelle f la fonction définie sur R par f(x)= ax^3 + bx^2 + cx + d , a, b, c, d étant quatre constantes réelles que l'on déterminera en utilisant les conditions suivantes :

C passe par O et admet en ce point une tangente de coefficient directeur -6 ;
la dérivée de f s'annule pour les valeurs -1 et 3.

Déterminer la fonction f.

On pourra admettre pour la suite que l'on a f(x) = 2/3 x^3 - 2x^2 - 6x

Donner une équation de la tangente T à C en 0. Préciser la position de C par rapport à T.
Etudier les variations de f.
Etudier le signe de f(x) suivant les valeurs de x. En déduire l'étude des variations de la fonction g définie sur R par g(x) = x^4 - 2x^3 - 18x^2

On ne calculera pas la valeur des extremums.

Je ne comprends absolument pas la première question, et ce qu'il faut faire.... le reste me semble clair mais la première question m'embrouille totalement..
merci d'avance de m'éclairer sur cet exercice

Bonjour,

Piste pour démarrer,

Tu dois mettre les conditions en équations:

$\left{ f(0)=0\f'(0)=-6\f'(1)=0\f'(3)=0\right$

Tu obtiens ainsi un système de 4 équations à 4 inconnues a,b,c,d à résoudre.
Tu pourras ainsi trouvera,b,c,d

j'ai compris le raisonnement pour le système,mais comment je fais pour résoudre a, b, c et d a l'aide de ce système ?

en revanche d est directement donné avec f(0)=0
et a correspond a la deuxième équation : f'(0)=-6 comme on parle de coefficient directeur

parce que:
-C passe par O --> f(0)=0
-admet en ce point une tangente de coefficient directeur -6 --> f'(0)=-6
-la dérivée de f s'annule pour les valeurs -1 et 3 --> f'(-1)=0 et f'(3)=0

c'est ça ?

oui.

écris les 4 équations.

on a:

f(0)=0 =d
f'(0)=-6 =c
f'(1)=0 = a+b+c
f'(3)=0 = 27a+9b+c

c'est ça ?

oui pour les 2 premières équations qui te donnent c et d

Vérifie les 2 autres.

As-tu bien dérivé ?

$f'(x)=3ax^2+2bx+c$

la troisième on obtient: 3a+ 2b+c
la quatrième on obtient: 27a+6b+c

ah j'ai fais une erreur x=-1... on obtient donc pour la troisième:
3a-2b+c

on utilise la méthode de substitution:

f(0)=0=d
f'(0)=-6=c
f'(-1)=0=3a-2b+c
f'(3)=0=27a+6b+c

soit
c=-6
2b=3a+c
0=27a+6b+c
-->
c=-6
2b=3a+c
0=27a+1,5a-9

ensuite pour trouver a on fait:

9/28,5=28,5a/28,5
on trouve que a= 0,3158

en fait j'ai fais une erreur, je reprends:

2b = 3a + c
27a + 6b + c = 0
d'ou 27a+9a+3c +c = 36a+4c = 0 d'ou a = -4c/36 = 2/3

je calcule b:

2b= 3a+c a=2/3
2b= -4
b= -2

c'est ça ?

et pour la question 2 je donne seulement l'équation de la droite f ?

est-ce normal si je toruve 0 pour l'équation ??

ah non j'ai confondu f'(x) et f(x)

j'utilise la formule:
y= f'(a)(x-a) + f(a)

f'(x)= x^2 -4x-6
f'(0)=0-0-6=-6
f(0)= 2/3 x 0 - 2 x 0 - 6 x 0 = 0

on a donc -6x-0-0=-6x

l'equation de la tangente est donc: -6x

est-ce correct?

je trouve 64 pour le delta de f'(x)

j'ai donc:
x1= -1
x2= 3

en fait je viens juste de prouver les données...

j'en deduis que f(-1)= -26/3 et que f(3)= 34

j'ai fais une erreur f(1) est égal à 10/3 et f(3) est egale a -18

mon tableau de signe:
a trois colonnes délimitées par -1 et 3 et :

f'(x) : + - +
f(x) : croît (de -oo à 10/3), décroît (de 10/3 à -18), croît (de -18 à +oo).

pour la question 4 la fonction est g(x)=x^4 -4x^3-18x^2

on factorise le tout par x^2
comme ça on a x^2 - 4x - 18

delta est egale a 88 ce qui est cohérent car il demande de ne pas calculer les extremums

j'ai alors x1= (4 - √88)/2 et x2= (4 + √88)/2

on fait ensuite le tableau de signe

Comme g'=6f, g' est de même signe que f. Or le signe de f est connu grâce à la question précédente. Ce qui permet d'en déduire le signe de g'.

x1 = 3/2 (1 - √5)
x2 = 3/2 (1 + √5).
Le facteur 3/2, c'est parce que diviser par 4/3, ça revient à multiplier par 3/4, et il y a les 2 qui se simplifient. j'ai du √5, : le discriminant est égal à 20 et 20=4x5 donc √20 = √4 x √5 = 2√5.

Reste à conclure : f est positive à l'extérieur des racines, etc. Donc pareil pour g'.

le tableau de signe est donc
il a 4 colonnes délimité par x1 0 x2

f(x) : - + - +
g(x) : décroît (de -oo à x1), croît (de x à 0), décroît (de 0 à x2),croît (de 0 à +oo)

Donc dans le tableau de variation de g on a :

g'(x) : - + - + (c'est pareil que f !)
g(x) : décroît, croît, décroît, croît (ne pas préciser les extremums).