Somme de la suite de Fibonacci
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HHAL2Y dernière édition par
Bonjour, j'ai un exercice à faire en maths sur la suite de fibonacci, j'ai tout réussi sauf la dernière question.
On a U(n+2) = U(n+1) + U(n)
On a V(n) = a x b^n + c x d^n
Avec :
a = -racinede 5 / 5
c = racine de 5 /5
b = (1 - racine de 5) / 2
d = (1 + racine de 5) / 2On part de n=0
On cherche a écrire S(n) = U(0) + U(1) + ... + U(n) en fonction de n
Pour ma part je suis arriver à :
S(n) = a x ( (1 - b^(n)) / (1 - b) ) + c x ( (1 - d^(n)) / (1 - d)
Le problème c'est que le résultat final (sans les explications ...) est :
S(n) = a x ( (1 - b^(n+1)) / (1 - b) ) + c x ( (1 - d^(n+1)) / (1 - d)
La différence n'est pas énorme mais rien à faire .. je bloque !
Je pense qu'il y a un rapport avec le nombre de terme, puisque l'on commence a n=0 , il y en a n+1 mais je n'arrive pas l'exploiter sachant que je ne connais pas les suites géométriques !!Merci beaucoup de m'aider!
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mtschoon dernière édition par
Bonjour,
Je pense que tu as fait une faute d'écriture et que ce V(n) dont tu parles est U(n)
un=abn+cdnu_n=ab^n+cd^nun=abn+cdn
Effectivement, si tu connaissais la formule donnant la somme des (n+1) premiers termes d'une suite géométrique, la réponse à S(n) serait immédiate.
La réponse à S(n) que tu as trouvée est effectivement inexacte.
Si tu veux qu'on vérifie ton calcul, il faut le donner.
Une piste possible,
$\text{s(n)=\sum _{k=0}^{k=n}u_k=\sum _{k=0}^{k=n}(ab^k+cd^k)=a\sum _{k=0}^{k=n}b^k+c\sum _{k=0}^{k=n}d^k$
$\text{soit s'(n)=\sum _{k=0}^{k=n}b^k et s''(n)=\sum _{k=0}^{k=n}d^k$
Je t'indique une méthode pour trouver S'(n) (c'est la méthode que l'on utilise traditionnellement pour démontrer la formule).
S"(n) se calcule de la même façon.
Sur une ligne tu explicites S'(n)
Sur la ligne au dessous, tu explicites bS'(n)
Ensuite, tu retranches membre à membre et tu simplifies.$\text{ s'(n)=1+b+b^2+b^3+...............+b^n \ bs'(n)=b+b^2+b^3+b^4+...+b^n+b^{n+1}$
En retranchant
s′(n)−bs′(n)=1−bn+1s'(n)-bs'(n)=1-b^{n+1}s′(n)−bs′(n)=1−bn+1
En factorisant
(1−b)s′(n)=1−bn+1(1-b)s'(n)=1-b^{n+1}(1−b)s′(n)=1−bn+1
Pour b ≠ 1,
s′(n)=1−bn+11−bs'(n)=\frac{1-b^{n+1}}{1-b}s′(n)=1−b1−bn+1
Ensuite, tu calcules S"(n) et tu déduis S(n)
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HHAL2Y dernière édition par
D'accord !!
Merci beaucoup je vais me débrouiller avec ça et ça devrait marcher!!
Encore merci !!
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mtschoon dernière édition par
De rien !
Bon DM.