Minimum pour une fonction



  • Bonjour.

    Un exercice me pose problème :

    On a une fonction telle que : f(x) = x + 1/x (j'imagine qu'il s'agit d'une fonction inverse)
    On me demande de montrer que pour tout x qui appartient à l'intervalle }0 ; 10} alors on a f(x) - f(1) = (x-1)²/x

    Je l'ai fait, il suffit de calculer f(x) - f(1) puis on met tout au même dénominateur.

    Ensuite, je dois dire que pour tout x qui appartient à }0 ; 10} alors f(x) - f(1) ≥ 0
    Je l'ai fait également, même si je ne suis pas sûre de la méthode de rédaction, à savoir :
    x appartient à }0 ; 10} alors le dénominateur est positif.
    (x-1)² ≥ 0 car un carré est toujours positif (ou nul)
    Donc f(x) - f(1) ≥ 0

    Mais le problème réside ici : comment montre-t-on que la fonction admet un extremum, en l'occurrence ici un minimum sur }0 ; 10} et lequel ?

    Merci d'avance!


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Ecris avec plus de précision, en mettant suffisamment de parenthèses, si tu n'utilise pas le latex

    Est-ce

    f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}

    ou

    f(x)=x+1xf(x)=\frac{x+1}{x}

    ?



  • C'est la première, désolée.


  • Modérateurs

    Ton explication de f(x)-f(1) ≥ 0 est bonne (tu peux préciser, pour faire preuve de rigueur, que le dénominateur x est strictement positif)

    Le minimum est la conséquence de cette question.

    Le minimum d'un carré est 0

    Le minimum de f(x)-f(1) est donc 0, pour x=1 ( lorsque (x-1)²=0 )

    Calcul de ce minimum :

    f(x)-f(1)=0 <=> f(x)=f(1) <=> f(x)=2

    Donc, sur ]0,10], le minimum de f(x) est 2 ( obtenu pour x=1)



  • Ah oui! C'est vrai. Je n'avais pas pensé faire le rapprochement avec 0.
    Merci beaucoup!


  • Modérateurs

    De rien !

    Bon travail.


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