Minimum pour une fonction

Bonjour.

Un exercice me pose problème :

On a une fonction telle que : f(x) = x + 1/x (j'imagine qu'il s'agit d'une fonction inverse)
On me demande de montrer que pour tout x qui appartient à l'intervalle }0 ; 10} alors on a f(x) - f(1) = (x-1)²/x

Je l'ai fait, il suffit de calculer f(x) - f(1) puis on met tout au même dénominateur.

Ensuite, je dois dire que pour tout x qui appartient à }0 ; 10} alors f(x) - f(1) ≥ 0
Je l'ai fait également, même si je ne suis pas sûre de la méthode de rédaction, à savoir :
x appartient à }0 ; 10} alors le dénominateur est positif.
(x-1)² ≥ 0 car un carré est toujours positif (ou nul)
Donc f(x) - f(1) ≥ 0

Mais le problème réside ici : comment montre-t-on que la fonction admet un extremum, en l'occurrence ici un minimum sur }0 ; 10} et lequel ?

Merci d'avance!

Bonjour,

Ecris avec plus de précision, en mettant suffisamment de parenthèses, si tu n'utilise pas le latex

Est-ce

$f(x)=x+1xf(x)=x+\frac{1}{x}$

ou

$f(x)=x+1xf(x)=\frac{x+1}{x}$

?

C'est la première, désolée.

Ton explication de f(x)-f(1) ≥ 0 est bonne (tu peux préciser, pour faire preuve de rigueur, que le dénominateur x est strictement positif)

Le minimum est la conséquence de cette question.

Le minimum d'un carré est 0

Le minimum de f(x)-f(1) est donc 0, pour x=1 ( lorsque (x-1)²=0 )

Calcul de ce minimum :

f(x)-f(1)=0 <=> f(x)=f(1) <=> f(x)=2

Donc, sur ]0,10], le minimum de f(x) est 2 ( obtenu pour x=1)

Ah oui! C'est vrai. Je n'avais pas pensé faire le rapprochement avec 0.
Merci beaucoup!

De rien !

Bon travail.