Dérivation (Fréquence de vibration)

Bonjour, je viens ici solliciter votre aide sur mon devoir maison, en effet, j'ai un peu de mal à comprendre l'énoncé, plus précisément la formule à utiliser.

En musique, le ton d'une note (son grave ou aigu) est déterminé par sa fréquence: plus la fréquence est élevée, plus le ton est aigu. L'art du musicien est donc de produire des variations de fréquences en faisant vibrer les cordes de son instrument.

La fréquence de vibration F d'une corde de guitare est donnée par la formule suivante: F= (1/2L)*√(T/p) où L est la longueur de la corde (on fait varier la longueur en pinçant la corde), T est sa tension (on fait varier la tension en tournant les chevilles) et p est sa masse linéique (masse par unité de longueur qui dépend du matériau utilisé et du diamètre de la corde - les six cordes d'une guitare sont faites avec le même matériau mais ont des diamètres différents donc des masses linéiques différentes).

PARTIE 1:

On note f la fonction définie par f:L→(1/2L)*√(T/p) (C'est cette formule qui me gêne). déterminer f'(L) et déterminer son signe. En déduire l'ordre de f(L1 ) et f(L2 )
lorsque L1 ≤ L2 . (ainsi que cette tournure de phrase avec les différents L)

Comment va évoluer le ton d'une note quand la longueur de la corde raccourcie par le fait d'y placer le doigt (ce qui a pour effet que seule une partie de la corde vibre)?

(En ce qui concerne les parties 2 et 3, si grâce à vous j'arrive à comprendre la partie 1, la 2 et la 3, ne me poseront pas de problèmes)
Merci de votre aide.

Bonjour,

Piste pour démarrer,

Une autre fois, si tu n'utilises pas le Latex, mets suffisamment de parenthèses pour éviter toute ambiguïté.

Je suppose qu'il s'agit de

$f=12ltpf=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{t}{p}}$

Vu que l'énoncé t'indique $f:l−>12ltpf:l-\gt \frac{1}{2l}\sqrt{\frac{t}{p}}$

La variable est L ( T et p sont considérées comme des constantes )

$f(l)=12ltpf(l)=\frac{1}{2l}\sqrt{\frac{t}{p}}$

Tu peux écrire :

$f(l)=(12×tp)1lf(l)=(\frac{1}{2}\times \sqrt{\frac{t}{p}})\frac{1}{l}$

Tu calcules f '(L) avec la méthode usuelle pour une fonction de variable x du type
"$\text{constante \times\ \frac{1}{x}$"

Merci, donc j'applique la formule: u'×v+u×v' si j'ai bien compris.
Donc ça me donnerait:

$-\frac{1}{l^{2}}\times (\frac{1}{2} \times \sqrt{\frac{t}{p}})$ ?

oui, la dérivée est exacte.

Remarque : Vu que la fonction est f , il faut mettre $f^{'} (l)$ au lieu de $f^{'} (l)$

Excusez moi, je n'ai pas fait attention pour le "F".
Et donc après pour l'étude du signe, il est préférable d'utiliser certaines règles pour déterminer le signe de la dérivée non? Puisque, même si P et T sont des constantes, on ne connait pas leurs valeurs. Après si il faut faire un tableau, je ne vois pas trop comment le dresser...

Tu n'as pas besoin des valeurs pour trouver le signe.

Nécessairement, T > 0, p > 0 et L > 0

$tp>0\sqrt{\frac{t}{p}} \gt 0$

$l2>0l^2 \gt 0$

$1>01\gt 0$

$12>0\frac{1}{2}\gt 0$

donc f'(L) ................(complète avec '>0' ou '<0')

donc f ....................(complète avec 'croissante' ou 'décroissante')

Vu la question posée, le tableau de variation n'est pas nécessaire.

L1 ≤ L2 => f(L1) ......f(L2) ( complète avec '≤' ou '≥' )

Donc si j'ai bien compris: f'(L) < 0
Et donc par conséquent f est décroissante.
Et pour L1 ≤ L2 => f(L1) ≥ f(L2), est-ce exact?

C'est tout à fait exact.

Grâce à vous, je ne suis plus bloqué sur mon devoir, je vous remercie!

Merci, et tant que j'y suis, en supposant que ma variable était T et non pas L, j'aurai pu écrire ma fonction de la même manière ou bien d'une autre façon?

Si L était considérée comme constante et si la variable était T :

$g(t)=(12lp)tg(t)=(\frac{1}{2l\sqrt p})\sqrt t$

$g′(t)=(12lp)12tg'(t)=(\frac{1}{2l\sqrt p})\frac{1}{2\sqrt t}$

D'accord, merci beaucoup!

De rien !