Petit problème de maths spé!!!!Aidez-moi svp



  • Voici l'énoncé :
    Dans tout l'exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
    S est l'ensemble des couples (x;y) tels que : PGCD (x;y)=y-x
    1.a Calculer PGCD(363;484).
    b. Le couple (363;484) appartient-il à S?

    1. Soit n un entier naturel non nul; le couple (n;n+1) appartient-il à S? Justifier la réponse.
      3.a Montrer que (x;y) appartient à S si et seulement si il existe un entier k non nul tel que x = k(y-x) et y=(k+1)(y-x).
      b. En déduire que pour totu couple (x;y) de S, on a PPCM(x;y) = k(k+1)(y-x).
    2. Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
      En déduire l'ensemble des couples (x;y) de S tels que : PPCM(x;y)=228.

    J'ai un problème aux questions 3.a et 4. Pourriez-vous m'aider s'il vous plaît je butte vraiment dessus.

    Merci d'avance 😄


  • Modérateurs

    Salut.

    C'est spé maths, pas maths spé ^^.

    Bref:

    3.a Montrer que (x;y) appartient à S equiv/ il existe un entier k non nul tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x).

    Je pense que l'implication réciproque est rapide à montrer.

    Le problème, c'est de montrer que (x;y) appartient à S impl/ il existe un entier k non nul tel que x=k(y-x) et y=(k+1)(y-x).

    Expliquer que x et y sont formés par (y-x), c'est normal, vu que c'est le pgcd. Mais comme c'est le pgcd, il ne faudrait pas qu'il y ait de plus grand diviseur commun que y-x à y et x.

    Essayons pour voir ce qu'il se passe si on prend autre chose que k et k+1 pour autre facteurs:

    Par exemple k et k+2: x=k(y-x) et y=(k+2)(y-x)
    Alors y-x=2(y-x)... Il y a un problème non?

    Si tu as compris, essaie de le rédiger en effectuant un raisonnement par l'absurde 😉 . Et n'oublie pas les hypothèses de l'énoncé.

    4. Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228. En déduire l'ensemble des couples (x;y) de S tels que : PPCM(x;y)=228.

    Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228 devrait être rapide à faire. Mais attention à n'en n'oublier aucun.

    En déduire l'ensemble des couples (x;y) de S tels que : PPCM(x;y)=228. Pour cela, il faudrait peut être penser à une certaine propriété du cours qui lierait pgcd et ppcm, vu tout le travail fait au préalable ^^. Les questions précédentes doivent toujours servir à quelque chose quand on arrive à l'application dans un sujet bien écrit.

    @+



  • Merci pour cette aide.
    J'ai réussi la question 3.a.
    Pour la question 4 je trouve 12 diviseurs de 228 : D(228)={1,2,3,4,6,12,19,38,57,76,114,228}.
    Mais pour trouver les couples (x;y) qui répondent à la question je me demande comment faire. 😕
    Faut-il que je fasse toutes les combinaisons possibles entre touts les diviseurs par exemple le couple( 19;38) (19;76).... et ça pour chaque diviseur ou y-a-t-il une autre méthode?

    S'il-vous-plaît aidez moi parce que je ne sias vraiment plus comment finir cet exercice.
    Merci d'avance. Répondez-moi vite s'il-vous plaît.



  • salut, je reprend ton énoncé
    Dans tout l'exercice x et y désignent des entiers naturels non nuls vérifiant x < y.
    S est l'ensemble des couples (x;y) tels que : PGCD (x;y)=y-x
    1.a Calculer PGCD(363;484).
    b. Le couple (363;484) appartient-il à S?

    1. Soit n un entier naturel non nul; le couple (n;n+1) appartient-il à S? Justifier la réponse.
      3.a Montrer que (x;y) appartient à S si et seulement si il existe un entier k non nul tel que x = k(y-x) et y=(k+1)(y-x).
      b. En déduire que pour totu couple (x;y) de S, on a PPCM(x;y) = k(k+1)(y-x).
    2. Déterminer l'ensemble des entiers naturels diviseurs de 228.
      En déduire l'ensemble des couples (x;y) de S tels que : PPCM(x;y)=228.

    S est l'ensemble des couples (x;y) tels que : PGCD (x;y)=y-x . x<y
    pgcd(363,484)=121.

    et 484-363=121 donc le couple donné appartient à S.

    1. pgcd(n+1,n)=pgcd(1,n)=1 et n+1-n=1 donc le couple (n,n+1) appartient à S.

    2. pgcd(k(y-x);(k+1)(y-x))=(y-x)pgcd(k,k+1)=y-x.

    4)ppcm(x,y)=x.y/pgcd(x,y)=k(k+1)(y-x)²/((k+1)(y-x)-k.(y-x))=
    k(k+1)(y-x).

    je te laisse faire un peu la suite



  • J'ai justement déjà fait tout ce que tu viens de me donner. Merci quand même mais c'est le reste où je bloque j'ai trouvé tous les diviseurs de 228 mais je ne sais pas comment faire.
    Répond-moi vite.
    Merci d'avance.



  • ...pour developper plus amplement la question pour laquelle on te demande de prouver l'existence de k pour que le couple (x,y) appartienne à S

    on peut à partir de l'équation voulu pgcd(x,y)=y-x avec x<y

    poser dabord pgcd(x,y)=D , on a donc D divise x et D divise y

    il existe donc K1 et K2 touts deux entiers tels que

    x=K1.D et y=K2.D

    on veut que D=y-x

    soit x=K1.(y-x)
    et y=K2.(y-x)

    soit encor x(1+K1)=K1.y
    et y(K2-1)=K2.x

    on obtient alors à partir de ces 2 équations l'egalité ;
    (K2-1)(1+K1)=K1.K2

    soit K2=1+K1

    si bien qu'en revenant au debut , on obtient:

    x=K1.(y-x)
    y=(1+K1).(y-x) ce qu'on voulait ( dans ton énoncé K1=k)

    je reflechis pour la suite



  • pour la dernière question je pense qu'il faut utiliser :

    PPCM(x;y) = k(k+1)(y-x).

    ici on veut que ppcm(x,y)=228 et on doit pour cela determiner x et y tels que 228=k(k+1)(y-x) .

    si k=1 on a y-x=114
    si k=2 on a y-x=38
    si k=3 on a y-x=19

    ect.. donc toutes les valeurs possibles de y-x sont les diviseurs de 228

    je te donne la suite dans un instant....



  • ..si k=4 ; 4(4+1)=20 n'est pas un diviseur de 228
    si k=5 5.6=30 n'est pas un diviseur de 228

    on ne peux aller plus loin que k=3

    on a donc pour le moment y-x=114
    y-x=38
    y-x=19

    de plus ppcm(x,y)=228=x.y/(y-x) puisqu'on veut que (x,y) appartiennent à S

    soit 228.114=x.y prenons x=228 et y=114

    ppcm(x,y)=228 et pgcd(x,y)=114 =228-114

    donc le couple (228,114) convient


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