DM de suites

Bonjour, j'aurais besoin d'un petit coup de main, pour cette exercice . Merci d'avance si quelqu'un pourrait me guider

(Un) est la suite définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par Un =

[n (n + 1) /2 ]²

(Vn) est la suite définie par v1 = 1 et par la relation de récurrence:
V n+1 = Vn + (n+1)∧3 pour tout entier naturel n≥ 1.

Calculer les 5 premiers termes de chacune des suites.
Démonter que la suite (Un) vérifie la relation de récurrence U n+1 = Un + (n+1)/3 pour tout entier naturel n≥1
on admet que (Un) et (Vn) sont égales.En déduire pour tout entier naturel
n≥ 1, (1+2+.....+ n)² = 1∧3 + 2∧3+.... + n∧3

Bonjour,

J'ai supprimé ton doublon.

Tu peux au moins calculer les premiers termes, comme demandé.

[quote=mathtous]Bonjour,
Ce qui me pose problème c'est que je n'est pas Uo(ps: j'ai rater une semaine de cour, je suis un peu perdu)

Citation
Un = [n (n + 1) /2 ]²Tu remplaces n par la valeur souhaitée.
Par exemple, pour U2, tu remplaces n par 2 :
U2 = [2(2+1)/2]² et tu effectues les calculs.

U1 ⇒ 1
U2⇒ 6,25
U3⇒ 13
U4⇒ 22,25
U5⇒ 34

A part U1, les autres sont faux.
Écris "=", pas "⇒".

Détaille le calcul pour U2.

Je viens de trouver mon erreur
U2=9
U3=36
U4=100
U5=225

Oui.
Fais la même chose pour V1 à V5.

Pouvez_vous me donnez un exemple comme pour la première suite? Svp
V2= 28 ?

C'est différent, car ici, tu dois obligatoirement les calculer de proche en proche à cause de la relation de récurrence.
Ainsi : V1 = 1 (donné)
$V_{n+1}$ = Vn + (n+1)³, donc :
V2 = V1 + (1+1)³ = 1+8 = 9
V3 = V2 + (2+1)³ et tu continues.

V1=1
V2=9
V3=36
V4=100
V5=225
Je pense que c'est bon?

Oui.
Citation
2. Démonter que la suite (Un) vérifie la relation de récurrence U n+1 = Un + (n+1)/3 pour tout entier naturel n≥1Relis l'énoncé : je pense qu'il s'agit de $U_{n+1}$ = Un + (n+1)³

Oui effectivement je me suis tromper

Un = [n(n+1)/2]²
Alors, que vaut $U_{n+1}$ (en fonction de n) ?

Un+1= ((n+1) (n+1)/ 2)²
=(n²+n+n+1)/2 le tout au carré
= (n²+n+1)²
Je suis bloquer ensuite

Citation
Un+1= ((n+1) (n+1)/ 2)²Non : ce ne peut pas être deux fois le même facteur.
$U_{n+1}$ = [(n+1)(n+2)/2]²
Ne développe pas.
Calcule $U_{n+1}$ - Un, et cherche à factoriser.

J'ai remplacée:
Un+1- Un= [(n+1) (n+2) /2]² - [n(n+1) / 2]²
Je suis pas très douée pour factoriser

Un+1- Un= [(n+1)²(n+2)² - n²(n+1)²]/4
Tu ne vois pas le facteur commun ?

n+1 est le facteur commun,

Mieux : (n+1)².
La différence peut donc s'écrire :
Un+1 - Un = (n+1)²[(n+2)² - n²]/4
Calcule le crochet.

Un+1-Un= (n+1)²+ 4n
Au final je trouve ce resultat

Non
Le crochet : (n+2)² - n² = n²+4n+4-n² = 4(n+1)
L'ensemble : Un+1 - Un = (n+1)²4(n+1)/4 = (n+1)³
Donc Un+1 = Un + (n+1)³ : c'est ce qu'on te demandais de trouver (relis la question : il faut se laisser guider par les questions).

Mais si c'est moi qui effectue tous les calculs, qu'est-ce que cela t'apporte ?

Merci je vais refaire le calcul et le comparer avec le tien pour savoir où est mon erreur

Fais attention à ne poster qu'une seule fois chaque message.
Tu peux détailler ton calcul afin que je vois où il pêche.

J'ai trouvée mon erreur pour
Un+1-Un= ( n+1)² [4(n+4)]/4 j'avais oubliée de faire 4/4 ce qui donne 1. Alors on a: Un+1-Un= (n+1)² 4(n+1)/4
= ( n+1)³
Ensuite Un+1= Un+ ( n+1)³

On t'a donné Vn+1 = Vn + (n+1)³
Tu viens de prouver que Un+1 = Un + (n+1)³
De plus, U1 = V1 = 1.
Donc Un = Vn : pas besoin de l'admettre : c'est établi.

Partant de Vn+1 = Vn + (n+1)³, et de V1 = 1, tu peux démontrer par récurrence que Vn = 1³ + 2³ + ... + n³

J'ai trouvée ceci je suis pas très sur du calcul
n²(n+1)/2 = (n+1)² (n+2)- (n+1)³
n²(n+1)= (n+1)(n+2)² -4(n+1)³
(n+1)× [n²+(n+2) +4(n+1)]=0

Je ne vois pas ce que tu cherches à calculer.
Tu dois démontrer que Vn = 1³ + 2³ + ... + n³

C'est vrai pour n = 1 : V1 = 1 = 1³
En supposant que c'est vrai jusqu'à n, il faut prouver que c'est encore vrai pour n+1.
Pour cela, tu dois utiliser $V_{n+1}$ = $V_n$ + (n+1)³.

Je ne vois pas réellement comment je pourrais faire. Y a t-il une formule de cour que je devrais utiliser?

Je résume : on te dis ceci :
Citation
on admet que (Un) et (Vn) sont égales.En déduire pour tout entier naturel
n≥ 1, (1+2+.....+ n)² = 1∧3 + 2∧3+.... + n∧3
Ce qui est écrit à droite est Vn : c'est ce que je te demandais de vérifier par récurrence.
V1 = 1 = 1³
V2 = V1 + 2³ = 1³ + 2³
V3 = V2 = 3³ = 1³ + 2³ + 3³
Et le passage de n à n+1 est tout aussi évident :
Si Vn = 1³ + 2³ + ... + n³
Puisque $V_{n+1}$ $V_n$ + (n+1)³
Alors $V_{n+1}$ = 1³ + 2³ + ... + n³ + (n+1)³ : la formule est encore vraie au rang n+1.

Maintenant, regarde la partie gauche de ce qu'on te demande :
1 + 2 + 3 + ... + n = ?? là, tu peux appliquer une formule du cours.

La suite Un est suite arithmétique de raison 1, on peut alors utiliser la formule suivante: 1+2+3+...+n= n(n+1)/2

Exact.
Ici, tu as vu que Vn = Un (pour n ≥ 1).
Mais Un = [n (n + 1) /2 ]²
C'est-à dire Un = (1 + 2 + ... + n)²
Et tu sais que Vn = 1³ + 2³ + ... + n³
D'où la conclusion.

D'accord je viens de comprendre merci énormément pour votre aide, cela m'a beaucoup aider!

De rien.
Bon courage.