Ajustement affine-fonction exponentielle


  • T

    Bonjour, Voila j'ai un exercice de maths a faire et il es assez difficile de le terminer pour moi pourriez vous m'aider.
    Sujet :
    Une réserve d'eau naturelle est aménager pour la baignade. Un système d'évacuation permet de maintenir dans ce bassin, en toutes circonstances,un volume d'eau constant égal à 50 000 litres. À la suite de pluies torrentielles, des eaux de ruissellement, polluées par des pesticides, se deversent dans ce bassin.
    On a déterminer le volume Yi (en litres) de pesticides contenus dans le bassin a l'instant Ti (en heures).
    Les resultats figures dans le tableau suivant :
    Ti 0 20 40 60 80 100
    Yi 0 173 375 502 688 778
    On Pose Zi= (-7) + ln(2000 - Yi)

    Ce que j'ai déjà fais :

    Q1) Compléter le tableau suivant, en donnant les valeurs de Zi à 10−210^{-2}102 près.
    Ti 0 20 40 60 80 100
    Zi 0,6 0,51 0,39 0,31 0,18 0,11

    Q2) J'ai réaliser le graphique correspondant au tableau précédant.

    Q3) a. Calculer les coordonnée du point G1 des 3 premiers points du nuage et celles du points G2 des 3 dernier points du nuage.
    G1: Zi Moyen = (0,11 + 0,18 + 0,31)÷ 😄 3 = 0,2
    Ti Moyen = (100 + 80 + 60 )÷ 3 = 80
    G1(0,2;80)

    G2: Zi Moyen = (0,39 + 0,51 + 0,60 )÷3 = 0,5
    Ti Moyen = (40 + 20 + 0) = 20
    G2(0,5;20)

    b. J'ai placer c'est deux points sur le graphique et tracer la droite (G1G2)
    c. Déterminer l'équation de la droite :
    Y = ax + b
    a=(0,2-05)÷(80-20)=-0.005
    YB = a * xB + b
    80 = - 0,005 * 0,2 + b

    • b = (-0,005 * 0,2) / 80 = - 1,25.10⁻⁵
      b = 1,25.10⁵

    Y = - 0.005t + 1,25.10⁵

    Q4) ON considère que la droite (G1G2) constitue un ajustement affine convenable du nuage de point Mi(Ti; Zi). À l'aide du résultat obtenueà la question 3c) montrer que l'on peut choisir comme expression approchée de Y en fonction de T : Y = 2000 × (1−e−0,005t(1-e^{-0,005t}(1e0,005t)

    Voila je suis completement bloqué a cette question.

    Q5) La baignade devient dangereuse dès que le taux de pesticides contenus dans l'eau atteint 2 %.
    a. Pour quel volume de pesticides ce taux est il atteint ?
    50 000 litre d'eau ?
    100 % 2%

    Ici est comme cela qu'il faut raisonner ?

    b. Résoudre l'inéquation suivante : 2000×(1 - e−0,005te-^{0,005t}e0,005t)> 1000
    <=> (1 - e−0,005te^{-0,005t}e0,005t)> 0,5
    Ensuite je suis bloquée 😕

    c. En déduire au bout de combien de jours la baignade sera dangereuse.
    d. Comment peut on vérifier graphiquement ce résultat ?

    Merci à ceux qui pourrons m'aider !!


  • mtschoon

    Bonjour,

    Tu as bien travaillé, mais je pense que tu as des problèmes avec les notations.

    Je regarde tes réponses.

    Q1) c'est bon et j'imagine que tu as fait le graphique pour Q2) en mettant les valeurs de Ti en abscisses et les valeurs de Zi en ordonnées.

    Q3) Les valeurs du temps (Ti) sont mises dans l'ordre croissant.

    Les 3 premières correspondent à 0,20, 40 : cela te donne G1 (et non G2)
    Les 3 dernières correspondent à 60,80,100 : cela te donne G2 (et non G1)
    En plus, tu alternes les abscisses qui sont les Ti avec les ordonnées qui sont les Zi

    Revois cela : tu dois trouver G1(20;0.5) et G2(80;0.2)

    Pour l'équation de la droite (G1G2) , mets les bonnes notations

    Z=aT+b et prends les bonnes valeurs pour G1 et G2( sans confondre abscisse et ordonnée)

    Revois les calculs

    Tu dois trouver Z=-0.005T+0.6

    Q4)Tu sais que Z=-0.005T+0.6 ,

    tu remplaces Z par -7+ln(2000-Y)

    Tu obtiens :

    -7+ln(2000-Y)=-0.005T +0.6

    c'est à dire

    ln(2000-Y)=-0.005T +7.6

    Essaie de terminer pour trouver une valeur approchée de Y :

    Y=2000(1−e−0.005T)Y=2000(1-e^{-0.005T})Y=2000(1e0.005T)

    Reposte si tu n'y arrives pas.


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