Montrer par récurrence qu'une suite Un appartient à un intervalle donné



  • Bonsoir,

    Soit la suite (Un), n appartenant à N
    U0=0
    Un+1=2+un\sqrt{2+un}
    Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n, 0un2\leq un\prec 2

    Initialisation : Si n=0, U0=0
    La propriété est vraie

    Hérédité
    On suppose que 0un2\leq un\prec 2 et on doit démontrer que 0un+120\leq un+1\leq 2
    0un2\sqrt{0}\leq \sqrt{un}\leq \sqrt{2}
    2un+24\sqrt{2}\leq \sqrt{un+2}\leq \sqrt{4}
    2un+14\sqrt{2}\leq un+1\leq \sqrt{4}

    Conclusion:
    Pour tout n appartenant N, 0un+120\leq un+1\leq 2

    Ai je fait une erreur, le raisonnement est-il correcte?

    Merci


  • Modérateurs

    L'idée est bonne mais pour l'hérédité, il faut ajouter 2 à Un avant de prendre la racine carrée

    0un<20\le u_n\lt 2

    2un+2<42\le u_n+2\lt 4

    2un+2<4\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt \sqrt 4

    2un+2<2\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 2

    Vu que 020 \le \sqrt 2

    on peut déduire :

    02un+2<20 \le \sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 2

    donc

    0un+2<20 \le \sqrt{u_n+2}\lt 2

    0un+1<20 \le u_{n+1}\lt 2



  • Bonsoir,

    Oui, ok c'est plus logique! 😊

    Merci et bonne soirée


  • Modérateurs

    De rien !

    A+


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