Montrer par récurrence qu'une suite Un appartient à un intervalle donné
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Aarone dernière édition par Hind
Bonsoir,
Soit la suite (Un), n appartenant à N
U0=0
Un+1=2+un\sqrt{2+un}2+un
Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n, 0≤un≺2\leq un\prec 2≤un≺2Initialisation : Si n=0, U0=0
La propriété est vraieHérédité
On suppose que 0≤un≺2\leq un\prec 2≤un≺2 et on doit démontrer que 0≤un+1≤20\leq un+1\leq 20≤un+1≤2
0≤un≤2\sqrt{0}\leq \sqrt{un}\leq \sqrt{2}0≤un≤2
2≤un+2≤4\sqrt{2}\leq \sqrt{un+2}\leq \sqrt{4}2≤un+2≤4
2≤un+1≤4\sqrt{2}\leq un+1\leq \sqrt{4}2≤un+1≤4Conclusion:
Pour tout n appartenant N, 0≤un+1≤20\leq un+1\leq 20≤un+1≤2Ai je fait une erreur, le raisonnement est-il correcte?
Merci
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mtschoon dernière édition par
L'idée est bonne mais pour l'hérédité, il faut ajouter 2 à Un avant de prendre la racine carrée
0≤un<20\le u_n\lt 20≤un<2
2≤un+2<42\le u_n+2\lt 42≤un+2<4
2≤un+2<4\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt \sqrt 42≤un+2<4
2≤un+2<2\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 22≤un+2<2
Vu que 0≤20 \le \sqrt 20≤2
on peut déduire :
0≤2≤un+2<20 \le \sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 20≤2≤un+2<2
donc
0≤un+2<20 \le \sqrt{u_n+2}\lt 20≤un+2<2
0≤un+1<20 \le u_{n+1}\lt 20≤un+1<2
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Aarone dernière édition par
Bonsoir,
Oui, ok c'est plus logique!
Merci et bonne soirée
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mtschoon dernière édition par
De rien !
A+