Montrer par récurrence qu'une suite Un appartient à un intervalle donné



  • Bonsoir,

    Soit la suite (Un), n appartenant à N
    U0=0
    Un+1=2+un\sqrt{2+un}2+un
    Démontrer à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n, 0≤un≺2\leq un\prec 2un2

    Initialisation : Si n=0, U0=0
    La propriété est vraie

    Hérédité
    On suppose que 0≤un≺2\leq un\prec 2un2 et on doit démontrer que 0≤un+1≤20\leq un+1\leq 20un+12
    0≤un≤2\sqrt{0}\leq \sqrt{un}\leq \sqrt{2}0un2
    2≤un+2≤4\sqrt{2}\leq \sqrt{un+2}\leq \sqrt{4}2un+24
    2≤un+1≤4\sqrt{2}\leq un+1\leq \sqrt{4}2un+14

    Conclusion:
    Pour tout n appartenant N, 0≤un+1≤20\leq un+1\leq 20un+12

    Ai je fait une erreur, le raisonnement est-il correcte?

    Merci



  • L'idée est bonne mais pour l'hérédité, il faut ajouter 2 à Un avant de prendre la racine carrée

    0≤un<20\le u_n\lt 20un<2

    2≤un+2<42\le u_n+2\lt 42un+2<4

    2≤un+2<4\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt \sqrt 42un+2<4

    2≤un+2<2\sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 22un+2<2

    Vu que 0≤20 \le \sqrt 202

    on peut déduire :

    0≤2≤un+2<20 \le \sqrt 2\le \sqrt{u_n+2}\lt 202un+2<2

    donc

    0≤un+2<20 \le \sqrt{u_n+2}\lt 20un+2<2

    0≤un+1<20 \le u_{n+1}\lt 20un+1<2



  • Bonsoir,

    Oui, ok c'est plus logique! 😊

    Merci et bonne soirée



  • De rien !

    A+


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