limite indéterminée avec fonctions exponentielle et logarithme (BCPST 2)

Bonjour,

En cette pré-rentrée j'en bave avec les élèves de BCPST 2ème année.

Auriez-vous une méthode pour calculer :

$lim⁡x→0ln⁡(ex−1x)x\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{e^x -1}{x} \right)}{x}$

?

Bonjour Thierry,

Si tes étudiants connaissent, chercher le développement limité (d'ordre 1 est suffisant) de la fonction au voisinage de 0, permet d'obtenir la limite facilement.

Sauf erreur de ma part :

$\text{\lim_{x \to 0}\frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}$

Tout à fait j'avais pensé aux DL mais nous ne sommes pas arrivés au bout. Peux-tu me donner quelques indications ?

Quelques pistes,

Utilisation des DL usuels au voisinage de 0

$ex=1+x+x22!+o(x2)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$ex−1=x+x22!+o(x2)e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)$

$2! = 2$

$ex−1=x+x22+o(x2)e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)$

$ex−1x=1+x2+o(x)\frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2}+o(x)$

Or, au voisinage de 0

$ln(1+y)=y−y22+o(y2)ln(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+o(y^2)$

Donc ( DL d'une fonction composée Y=X/2 )

$ln(ex−1x)=x2−x242+o(x2)ln(\frac{e^x-1}{x})=\frac{x}{2}-\frac{\frac{x^2}{4}}{2}+o(x^2)$

$ln(ex−1x)=x2−x28+o(x2)ln(\frac{e^x-1}{x})=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)$

$\fbox{\frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}-\frac{x}{8}+o(x)}$

D'ou la limite proposée :

$\fbox{\lim_{x\to 0} \frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}$

OK merci !

De rien.

Bonne rentrée !