limite indéterminée avec fonctions exponentielle et logarithme (BCPST 2)


  • Thierry
    Modérateurs

    Bonjour,

    En cette pré-rentrée j'en bave avec les élèves de BCPST 2ème année.

    Auriez-vous une méthode pour calculer :

    lim⁡x→0ln⁡(ex−1x)x\lim_{x\rightarrow 0} \frac{\ln \left(\frac{e^x -1}{x} \right)}{x}limx0xln(xex1)

    ?


  • mtschoon

    Bonjour Thierry,

    Si tes étudiants connaissent, chercher le développement limité (d'ordre 1 est suffisant) de la fonction au voisinage de 0, permet d'obtenir la limite facilement.

    Sauf erreur de ma part :

    $\text{\lim_{x \to 0}\frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}$


  • Thierry
    Modérateurs

    Tout à fait j'avais pensé aux DL mais nous ne sommes pas arrivés au bout. Peux-tu me donner quelques indications ?


  • mtschoon

    Quelques pistes,

    Utilisation des DL usuels au voisinage de 0

    ex=1+x+x22!+o(x2)e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)ex=1+x+2!x2+o(x2)

    ex−1=x+x22!+o(x2)e^x-1=x+\frac{x^2}{2!}+o(x^2)ex1=x+2!x2+o(x2)

    2!=22!=22!=2

    ex−1=x+x22+o(x2)e^x-1=x+\frac{x^2}{2}+o(x^2)ex1=x+2x2+o(x2)

    ex−1x=1+x2+o(x)\frac{e^x-1}{x}=1+\frac{x}{2}+o(x)xex1=1+2x+o(x)

    Or, au voisinage de 0

    ln(1+y)=y−y22+o(y2)ln(1+y)=y-\frac{y^2}{2}+o(y^2)ln(1+y)=y2y2+o(y2)

    Donc ( DL d'une fonction composée Y=X/2 )

    ln(ex−1x)=x2−x242+o(x2)ln(\frac{e^x-1}{x})=\frac{x}{2}-\frac{\frac{x^2}{4}}{2}+o(x^2)ln(xex1)=2x24x2+o(x2)

    ln(ex−1x)=x2−x28+o(x2)ln(\frac{e^x-1}{x})=\frac{x}{2}-\frac{x^2}{8}+o(x^2)ln(xex1)=2x8x2+o(x2)

    $\fbox{\frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}-\frac{x}{8}+o(x)}$

    D'ou la limite proposée :

    $\fbox{\lim_{x\to 0} \frac{ln(\frac{e^x-1}{x})}{x}=\frac{1}{2}$


  • Thierry
    Modérateurs

    OK merci !


  • mtschoon

    De rien.

    Bonne rentrée !


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