problèmes d'aire (fonctions)



  • Bonjour
    Je n'arrive pas à résoudre le petit 2 merci de votre aide.

    1. Sur un segment [AB] de longueur 10, on place un point M.
      On construit deux carrés AMCD et MBEF.

    a) On pose x = AM.
    Exprimer l'aire des carrés AMCD et MBEF en fonction de x.
    b) Prouver que la somme des aires des deux carrés s'exprime par la fonction f définie par
    f (x) = 2x − 20x + 100 .
    c) Montrer que f(x) pourra alors s’écrire sous cette forme : f(x) = 2(x-5)²+50 Tracer dans un repère convenablement choisi la courbe de f.
    d) En déduire la position du point M pour que la somme des aires des deux carrés soit minimum. (ici j'ai lu le point du sommet c'était x = 5 l'aire est de 50 j'ai pris ce point pour réponse)

    1. Obtient-on un résultat analogue en calculant le minimum de la somme des aires de deux disques de diamètres respectifs [AM] et [MB] ?
      Faire une figure et résoudre cette nouvelle situation.

    2. On considère maintenant un carré de côté [AM] et un disque de diamètre [MB].

    a) exprimer a somme des aires en fonction de x.
    B) tracer la courbe de la fonction avec une calculatrice et lire une valeur approchée du minimum
    c justifier de façon algébrique que 'aire est minimale lorsque x vaut 10 pi / pi+4

    J'ai fais tout le petit 1 mais je suis complètement bloquée au niveau du petit 2
    Merci de votre aide


  • Modérateurs

    Bonjour,

    Piste pour le 2)

    Je suppose que tu as fait le schéma.

    L'aire d'un disque de diamètre d est πd24\frac{\pi d^2}{4}

    L'aire du disque de diamètre [AM] est πam24=πx24\frac{\pi am^2}{4}=\frac{\pi x^2}{4}

    L'aire du disque de diamètre [MB] est πmb24=π(10x)24\frac{\pi mb^2}{4}=\frac{\pi (10-x)^2}{4}

    Soit g(x) la somme de ces 2 aires :

    g(x)=πx24+π(10x)24g(x)=\frac{\pi x^2}{4}+ \frac{\pi (10-x)^2}{4}

    Tu peux mettre ∏/4 en facteur et tu trouves :

    g(x)=π4f(x)\fbox{g(x)=\frac{\pi}{4}f(x)}

    Tu tires les conclusions.



  • D'accord merci je l'ai fais le résultat est donc analogue.

    Mais je n'arrive pas a faire la toute dernière question pourriez vous m'aider svp ?


  • Modérateurs

    Pour le 2) : la valeur de x est analogue pour le minimum : x=5

    ce minimum n'est pas le même : g(5)=π4f(5)g(5)=\frac{\pi}{4}f(5)

    Piste pour le 3)

    Inspire toi des questions précédentes : ajoute l'aire du carré de côté [AM] avec l'aire du disque de diamètre [MB]

    Indique nous ce que tu trouves.



  • D'accord oui j'ai compris je n'ai pas exactement la même fonction car je n'ai pas mis Pi/4 en facteur j'ai gardé la première équation que vous aviez comme moi.

    Pour le 3) je trouve x² +π (10-x)²/2

    J'ai essayé de développer je trouve alors x² +100 π /2 -20xπ +x²/2 π
    Cependant je ne sais pas comment trouver le sommet d'une telle équation car on vient de commencer le chapitre et l'année dernière on faisait un tableau de valeur pour trouver deux antécédents avec la même image mais ici ça ne fonctionne pas.. Comment faire svp ? 😕


  • Modérateurs

    Pour le 2, tu dois impérativement mettre ∏/4 en facteur.

    Revois si besoin.

    Pour le 3, fais attention

    En appelant h(x) la somme des 2 aires

    h(x)=x2+π(10x)24h(x)=x^2+\frac{\pi(10-x)^2}{4}

    As tu fais la représentation graphique de la fonction h sur ta calculette pour lire une valeur approchée du minimum ?

    Donne nous la valeur approchée de ce minimum (si tu l'as lu)



  • Pour le 2) j'ai donc mis en facteur et je ne trouve pas pareil je vous mets ce que je trouve

    π x² +π (10-x)² / 4
    4π/4 *(x²/4 +π * ( 10 -x) ²/4 )
    4π/4 (2x²-20x+100)
    Donc je ne trouve pas π/4 et je ne vois pas où est ma faute

    Ensuite pour le 3) j'ai trouvé
    Oui j'ai lu 44,635


  • Modérateurs

    1. A la première ligne, ce n'est pas ∏x², c'est ∏x²/4

    2. Si tu parles de l'abscisse, a valeur approchée de x n'est pas bonne



  • Oui effectivement j'ai trouvé le même résultat ! 😄

    Pour le 3) j'ai refais une table et la je trouve x= 6 = 61,132 alors que pour x= 5 je trouve 64,269
    La valeur approchée du minimum est de 61,132 lorsque x=6 ?
    Est ce que c'est juste ou pas ? 😕


  • Modérateurs

    Je n'ai pas de Casio, mais avec ta calculette, tu dois avoir une notice. Consulte la.

    Pour "voir" correctement le minimum de la 3), je t'indique la fenêtre
    (window sur certaines calculatrice) que tu peux prendre

    xmin=0
    xmax=10
    ymin=0
    ymax=100

    Je te donne ce que tu dois lire :

    Position de M pour que la somme des aires soit minimum (point le plus "bas" de la parabole) :
    x≈4.4
    y≈44
    Evidemment, ne recopie pas ces valeurs si tu ne les trouves pas, cela ne te servirai à rien...il faut que tu saches te servir de ta calculette.



  • D'accord en effet je m'étais trompée sur la place du pi dans l'équation d'où mes fautes par la suite.. Et je trouve bien pour x= 4,5 y= 44,008 donc c'est à peu près ça le minimum. Cependant je ne trouve pas comment résoudre cette fameuse dernière question ? Merci pour ce que vous avez fait en tout cas


  • Modérateurs

    Pour la fin, je te donne quelques indications.

    Tu developpes h(x) , tu le simplifies au mieux et tu dois trouver après calculs :

    h(x)=4+π4x25πx+25πh(x)=\frac{4+\pi}{4}x^2-5\pi x+25\pi

    h est un polynôme du second degré de la forme h(x)=ax²+bx+c

    Regarde ton cours.

    a > 0 donc le minimum est pourx=b2ax=\frac{-b}{2a}

    Tu obtiendras ainsi la réponse demandée.

    Bons calculs.



  • J'ai trouvé comme vous en développant 🙂
    Cependant j'aurais une dernière question : on nous a appris à chercher le discriminant : ici = (-5) ² -4*( π +4)/4 *25
    Or je trouve environs -153
    Donc dans mon cours cela démontre que le trinôme ne possède pas de solution car un carré ne peut être négatif ?

    De plus en faisant avec votre formule qui représente alpha dans mon cours donc au minimum également du sommet je trouve -(-5) / 2*4+π/4 ≈ 1,4 ?


  • Modérateurs

    Effectivement, le trinôme ne possède pas de solution qui l'annule.

    Le parabole est au-dessus de l'axe des abscisses.

    Pour l'abscisse du minimum , avec la formule que je t'ai indiquée, tu dois trouver ce qui est écrit dans ton énoncé 10π4+π\frac{10\pi}{4+\pi}

    Et bien sûr, cette valeur correspond à la valeur approchée lue sur le graphique.



  • Ah ! Enfin ! C'est bon j'ai trouvé le résultat !
    Merci beaucoup pour votre aide et surtout votre patience je n'y serais jamais arrivée sans !


  • Modérateurs

    De rien.

    Tu as bien travaillé !



  • Bonjour, j'ai le même dm pour tout ce qui est du début mais la dernière question est légèrement différente :

      1. On considère maintenant un carré de côté [AM] et un disque de diamètre [MB].
        Démontrer que la somme des aires du carré et du disque est minimum lorsque le rayon du
        disque est égal à 20/ π + 4

    Je suis arrivée à x² + (πx²/4) - 5xπ + 25π je n'arrive pas à mettre ensemble les deux premiers termes x² et (πx²/4)

    Merci pour votre aide.


  • Modérateurs

    Bonsoir,

    x2+π4x2=x2(1+π4)=x2(4+π4)x^2+\frac{\pi}{4}x^2=x^2(1+\frac{\pi}{4})=x^2(\frac{4+\pi}{4})



  • Merci beaucoup mais même avec a= 4+pi/4 je tombe sans arret sur le minimum pour 10pi/4+pi... Mon énoncé est pourtant différent de celui de la personne au dessus. Je ne vois pas comment ni à quoi correspond le 20/pi+4. Je crois que je n'ai même pas compris la question.


  • Modérateurs

    Ton énoncé te demande le rayon du disque

    Le rayon du disque vaut 10x2\frac{10-x}{2}

    Tu as x, donc il te reste à calculer 10x2\frac{10-x}{2}



  • Merci beaucoup !! Je m'y met tout de suite.. Après des heures sur ce dm mon cerveau était un peu mal pour réfléchir et comprendre la dernière question !


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