Approximation affine

Bonjour ,

1 )
a . Donner l'approximation affine de la fonction sinus en 0 .
b. tracer l'intervalle I [ 0 , $p i$ / 2 ] les courbes C, D et P d'équations :
y=sinx ; y=x ; y=x-x^2 /2 . On prendra pour unité grafique 10cm

Soit u(x)=x-sinx pour x appartient a I

a. Donner le tableau de variation de u
b. calculer u(0). En deduire le signe de u(x) puis la position de par rapport à D sur I.

Soit v(x)=1-x-cosx sur I

a. Determiner le sens de variation de v.
b. Calculer v (0) . En deduire le signe de v sur I

Soit w(x)=x-x^2 /2-sinx sur I

a. Déterminer le sens de variation de w sur I en vous aidant de la question 3b.
b. En deduire la position de C par rapport a P sur I

Deduire des questions precedentes que pour tout x de I o <= sinx-x <= x^2 /2

conclusion : comment suffit il de choisir x pour que x env= x a 0.01 prés ?

[B]j'ai commencer a le faire donc voici les resultats que j'ai obtenu:[/B]

question 1a. :
sinx env= f ' (0) (x-0) + f(0)
b. ...

2a. u(x) = g(x) + h(x) ... a la fin je trouve :
tableur de variation de u'(x) ( croissante ) , etude du signe de u(x) ( positif )sur l'intervalle [0 ;
$p i$ /2 ]
b. je n'ai pas vraiment trouvé jai commencer a faire :
u(0)= 0-sin0 = 0
signe de u(x) ? je pensé positif car sur les ordonnées cos x varie de -1 a 1 donc toujours positif..

3.a a la fin tableau de variation de v'(x) ( croissante ) et etude du signe de v (x ) ( positif) sur le même intervalle que tout a l'heure
b. je nai pas trouvé , je pense que le signe de v sur I est negatif mais je ne sais pas ..

4.a je n'ai pas trouver
b. a la fin de mes calcules jai trouvé qie C est au dessus de P sur I..

donc voila j'ai quelque probleme pour les questions 2b. 3b et 4a ..

merci d'avance .

s'il vous plait j'aimerai au moins savoir si le debut de ce que j'ai fais et juste ..

personne aurait une petite idée ? :rolling_eyes: :frowning2:

Bonsoir.

Minute : on fait ce qu'on peut - et on répond dès qu'on en a le temps, cf ces recommandations.

1.a.
sin x env= x pour x proche de 0.

2.a.
u'(x) = 1 - cos x >= 0 pour 0 <= x <= $p i$ /2.
Donc u est croissante sur cet intervalle.

2.b.
u(0) = 0 : ok. Alors, u(x) >= 0 pour tout x app/ I, par croissance.
Donc la courbe C est en-dessous de la droite D.

kipix0
3) Soit v(x) = 1 - x - cos x, sur I.
a. Determiner le sens de variation de v.
b. Calculer v (0) . En deduire le signe de v sur I

a.
v'(x) = -1 + sin x = - u(x).
Donc pour x app/ I, on a v'(x) <= 0.
Donc v est décrissante sur cet intervalle.

b.
v(0) = 0. Donc v(x) <= 0 pour tout x app/ I, par décroissance.

kipix0
4) Soit w(x) = x - x²/2 - sin x, sur I.
a. Déterminer le sens de variation de w sur I en vous aidant de la question 3b.
b. En deduire la position de C par rapport à P sur I.

a.
w'(x) = 1 - x - cos x, qui est <= 0 sur I.
Donc w est décroissante sur cet intervalle.

b.
w(0) = 0 montre que w(x) <= 0 pour tout x app/ I.
Donc la courbe P est en-dessous de la courbe C.

5.
On a vu que si x app/ I, alors x - sin x >= 0 et x - x²/2 - sin x <= 0.
Alors on en déduit que x - sin x <= x²/2.
D'où l'encadrement attendu, qui est : 0 <= x - sin x <= x²/2, pour tout x app/ I.
Pour que sin x env= x à 0,01 près, il suffit par exemple que x dans I soit tel que x²/2 <= 0,01, c'est-à-dire x <= 0,1 $s q r t$ 2, sauf inattention.