Approximation affine



  • Bonjour ,

    1 )
    a . Donner l'approximation affine de la fonction sinus en 0 .
    b. tracer l'intervalle I [ 0 , pipi/ 2 ] les courbes C, D et P d'équations :
    y=sinx ; y=x ; y=x-x^2 /2 . On prendra pour unité grafique 10cm

    1. Soit u(x)=x-sinx pour x appartient a I

    a. Donner le tableau de variation de u
    b. calculer u(0). En deduire le signe de u(x) puis la position de par rapport à D sur I.

    1. Soit v(x)=1-x-cosx sur I

    a. Determiner le sens de variation de v.
    b. Calculer v (0) . En deduire le signe de v sur I

    1. Soit w(x)=x-x^2 /2-sinx sur I

    a. Déterminer le sens de variation de w sur I en vous aidant de la question 3b.
    b. En deduire la position de C par rapport a P sur I

    1. Deduire des questions precedentes que pour tout x de I o <= sinx-x <= x^2 /2

    conclusion : comment suffit il de choisir x pour que x env= x a 0.01 prés ?

    [B]j'ai commencer a le faire donc voici les resultats que j'ai obtenu:[/B]

    question 1a. :
    sinx env= f ' (0) (x-0) + f(0)
    b. ...

    2a. u(x) = g(x) + h(x) ... a la fin je trouve :
    tableur de variation de u'(x) ( croissante ) , etude du signe de u(x) ( positif )sur l'intervalle [0 ;
    pipi/2 ]
    b. je n'ai pas vraiment trouvé jai commencer a faire :
    u(0)= 0-sin0 = 0
    signe de u(x) ? je pensé positif car sur les ordonnées cos x varie de -1 a 1 donc toujours positif..

    3.a a la fin tableau de variation de v'(x) ( croissante ) et etude du signe de v (x ) ( positif) sur le même intervalle que tout a l'heure
    b. je nai pas trouvé , je pense que le signe de v sur I est negatif mais je ne sais pas ..

    4.a je n'ai pas trouver
    b. a la fin de mes calcules jai trouvé qie C est au dessus de P sur I..

    donc voila j'ai quelque probleme pour les questions 2b. 3b et 4a ..

    merci d'avance .

    😄



  • s'il vous plait j'aimerai au moins savoir si le debut de ce que j'ai fais et juste ..



  • personne aurait une petite idée ? :rolling_eyes: :frowning2:



  • Bonsoir.

    Minute : on fait ce qu'on peut - et on répond dès qu'on en a le temps, cf ces recommandations.

    1.a.
    sin x env= x pour x proche de 0.

    2.a.
    u'(x) = 1 - cos x >= 0 pour 0 <= x <= pipi/2.
    Donc u est croissante sur cet intervalle.

    2.b.
    u(0) = 0 : ok. Alors, u(x) >= 0 pour tout x app/ I, par croissance.
    Donc la courbe C est en-dessous de la droite D.



  • kipix0

    1. Soit v(x) = 1 - x - cos x, sur I.
      a. Determiner le sens de variation de v.
      b. Calculer v (0) . En deduire le signe de v sur I

    a.
    v'(x) = -1 + sin x = - u(x).
    Donc pour x app/ I, on a v'(x) <= 0.
    Donc v est décrissante sur cet intervalle.

    b.
    v(0) = 0. Donc v(x) <= 0 pour tout x app/ I, par décroissance.



  • kipix0

    1. Soit w(x) = x - x²/2 - sin x, sur I.
      a. Déterminer le sens de variation de w sur I en vous aidant de la question 3b.
      b. En deduire la position de C par rapport à P sur I.

    a.
    w'(x) = 1 - x - cos x, qui est <= 0 sur I.
    Donc w est décroissante sur cet intervalle.

    b.
    w(0) = 0 montre que w(x) <= 0 pour tout x app/ I.
    Donc la courbe P est en-dessous de la courbe C.



  • 5.
    On a vu que si x app/ I, alors x - sin x >= 0 et x - x²/2 - sin x <= 0.
    Alors on en déduit que x - sin x <= x²/2.
    D'où l'encadrement attendu, qui est : 0 <= x - sin x <= x²/2, pour tout x app/ I.
    Pour que sin x env= x à 0,01 près, il suffit par exemple que x dans I soit tel que x²/2 <= 0,01, c'est-à-dire x <= 0,1 sqrtsqrt2, sauf inattention.


Se connecter pour répondre
 

Il semble que votre connexion ait été perdue, veuillez patienter pendant que nous vous re-connectons.